BULLETIIV 



L'ACADEfflE IMPERIALI 



ST.-PimSBOURG 



Note sur la rectification approximative des 

 courbes quelconques, par J. Somoff. (Lu le 



24 mars 1870.) 



Dans mon memoire Sur Us accelerations des divers 

 ordres^) j'ai deduit de la theorie de ces grandeurs 

 cinematiques les d^veloppements en series : de la 

 corde d'un arc d'une courbe quelconque et des pro- 

 jections de cette corde sur la tangente et les deux^ 

 normales principales, menses par I'line des extremi- 

 tes de Tare. Parmi les differentes applications que 

 peuvent avoir ces d^veloppements, il en est une qui 

 merite une attention particuliere a cause de son utilite 

 pour la solution de beaucoup de problemes pratiques: 

 c'est la rectification approximative d'une courbe quel- 

 conque, plane ou a double courbure. J'ai tire de ces 

 developpements une expression generale et tres simple 



de la longueur approximative d'un arc suffisamment 



petit, pour que sa S""** puissance puisse ^tre negligee. 



Savoir: 



La longueur de Tare est egale aux quatre tiers de la 

 corde moins le sixieme de la somme des projections de 

 cette corde sur les tangentes extremes. 



Cela mene a une regie generale pour la rectifica- 

 tion approximative des courbes de longueur quel- 

 conque, Tare total ^tant divise en portions suffisam- 

 ment petites. Cette regie se prete facilement aux 

 calculs, aussi bien qu'aux operations graphiques. EUe 

 est surtout utile dans la Geometrie descriptive et dans 

 I'Architecture, ou Ton a tres souvent a rectifier une 

 courbe, dont on a determine plusieurs points, suffisam- 

 ment rapproches, et les tangentes en ces points. Dans 

 ces cas la rectification s'opere a I'aide de la regie 



que nous donnons 



besoin pour cela de 



tracer la courbe, ou de raccorder les points. 



Voici la demonstration de cette regie. 



D6signant par ds I'accroissement d'un arc s d'um 

 courbe quelconque, par p et r les rayons de la pre 



miere et de la seconde courb 



k I'origine de 



1) M^moires de TAcademie Imperiale de St,-Petersbourg T. VIII, 

 w>6 5, 1864. 



Tome XV. 



par tv la fcorde de As et par a la projection de w sur 

 la tangente a la courbe a I'origine de As, on a par 

 les formules de la page 1 9 du m6moire sur les acce- 

 lerations de diverses ordres: 



w 



As 



1 



24p 



As 



3 



48 ds 



As' 



1 



^ 



3 



1 



d* 



720 (8 p 



p2j.2 



4 



P' 



1 



-il) 



a 



As 



ti 



6p 



As 



3 



3 



d 



ds^ 



1 



p ds^ 



5 



(I) 



« ft « 



48 ds 



''Us* 



Suppos^ant 



de 



negliger les termes qui contiennent As', As'..., et re- 

 presentaut par p' le rayon de la premiere courbure k 



de As, on pourra remplacer la derivee 



p 



ds 



par 



1 



p 



'2 



1 



P' 



As 



ce qui ne produira qu'uue erreur de I'ordre As 



5 



Cela pose, on aura 



s 



w 



As 



1 



24p 



As 



3 



— As^ 



1 



3 



48 p 



As^ 



d'oii Ton tire 



As 



w 



48 \p 



1 



P 



As 



3 



(2) 



Si 



J 



on 



Ce resultat a ^6 trouv6 par M. A. Serret^ 

 n substitue dans le second membre tc^ a As 

 ra une formule pour calculer Tare As au moyen de 

 corde et des rayons de courbure p et g'. Mais on 

 ut obtenir une autre expression de Tare plus simple, 

 i ne contient pas ces rayons. Les formules (I) donnent 



m 



3w 



a 



2 As 



I 



24?^ 



As 



3 



Desienant par a la projection de 



Isaaci 



2) De circuli magnitadine inrenta. - ^ ^ . . , _ 



Lausanae etGenerae, 1754, Opusculum X, Ep^^Jf * P"«^^ f .^^ 

 Oldenburgium, p. 320. -J. Wallis, a treatise of Algebra. London 



1685 



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