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Bulletin de r^cad^mie Imp^rlale 



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tangente a As, menee par son extremite, nous aurons 



de m^me 



dw 



a 



2 As 



1 



24p 



To As 



3 



2 



w 



de la vraie valeur 



Les formules (3) et (4) conduisent a I'egalite 



2 As 



dw 



1 



2 



48 Vp 



f) ^ 



3 



0,349065850040... 



2*. Valeur de la fonction elliptique de seconde 

 espece E(<p, h) pour une amplitude 9 = 10° et un 

 module h = sin 45°. 



qui, ajoutee a (2), se reduit d'abord a 



3 As 



4:10 



1 



2 



a), 



et par suite a 



As 



4 

 3 



w 



1 



6 



a'), 



(5) 



£ 



---. .V 



ce qui prouve la regie enoncee plus haut. 



a 



Pour un arc de cercle la somrae des projections 

 a de sa corde sur les tangentes extremes est 



egale a la corde de Tare double. Dans ce cas la for- 

 mule (5) conduit a une regie donnee par Hugens' 

 pour la rectification des arcs circulaires, savoir: Si. 

 A designe la corde de Varc donne et B la corde de la 

 moitie de cet arc, la longueur approximative de cet arc 



sera 



8B 



A 



8 



Soient AB le quadrant d'une ellipse, dont le demi- 

 grand axe est pris pour I'unite, Jc I'excentricite et fc' 

 le petit axe. Prenons sur ce quadrant un point ilf, 

 dont I'ordonnee PM, etant prolongee, rencontre en N 

 la circonference decrite du centre avec le rayon 



En effet, la formule (5) donne 



OA 



1, et menons ON; nous aurons 



1 



2 



As 



4 

 3 



B 



1 



6 



A 



BM 



E{9 



J 



on 



9 



L EON. 



et par consequent 



As 



8B — A 



3 



(6) 



1 



Nous aliens presenter quelques exemples nume- 



Projetant la corde Bilf sur les tangentes a I'ellipse 



aux points B et Mj nous aurons a 



BD, a 



MG, 



et posant 



LMBB 



LBMF 



LGMF 



e 



1 



riques des formules (6) et (5), pour montrer le de- nous trouverons facilement 



gres d'approximation des resultats du calcul. 



V. Longueur d'un arc circulaire de 20", le rayon 

 6taiit pris pour unite. 



Dans les tables de Hulsse: Sdmmlung mathemati- 

 scher Tafeln, on trouve 



A 

 B 



0,3472964 

 0,1743114; 



tang^ 



9 



Jc tang -^, tang = Jc^ tang 9 



2 



w 



sin 9 

 cos4»' 



a 



sin9 



J 



a 



wcos{0 



(7) 



k 



Au moyen de ces formules, faisant 9 

 sin 45° on aura 



10°, 



par consequent 



SB — A 



3 



0,3490649 



10 



a 



a 



0,1739800 

 0,1736482 

 0,1737733; 



done 



Ce resultat differs moins que de 



0,000001 



3) Traite des'fonctioas elliptiques. 



i; (10° sin 45°) 



4 

 3 



w 



I 



2 



a') 



0,1740695, 



ce qui differe moins que de 





0,000023 



