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Nun ist 



[s = r [cos (v + w) cos fl — sin (v + w) sin <Q cos i], 

 (11) \ y = r [cos (v + oj) sin £1 + sin (v 4- w) cos Q, cos i], 



[ z = r sin (v + w) sin i. 



Setzt man in (10) für c^, a, 2 , « 3 und x, y, z ihre Werte aus (6) 

 und (11), so erhält man 



a x = r a [ — sin (v + w) cos $ — cos (v + w) sin ß cos i], 



a 2 = r a [ — sin [v + w) sin ß + cos (v + w) cos ß cos i], 



a 3 = r a cos (v + w) sin i. 



Dieselben Werte wie für — , — , — erhält man, da 



a a a 



1 -f- e cos v 



von w unabhängig ist, aus (11) für die partiellen Ableitungen von 

 x, y, z nach w; d. h. es ist 



ö x 9 y ö z 



a, = a - — , a 9 = a - — a« = a - — . 



1 öw' 2 öw' 3 8ü) 



Durch Einsetzen dieser Werte geht (10) über in 

 da 6 R 8x 8R 8y 8R 6z 



dt 8x8w 3y8ü) 6 z 6 co 

 oder in 



/,o\ d a 6 R 



} dt~ = 6w~* 



Das Integral (3) ergibt sich, indem man die Gleichungen (1) mit 

 d x, d y, dz multipliziert und sie dann addiert. Führt man dasselbe 

 bei den Gleichungen (8) aus, so folgt 



1 , fl 8R , , 6R . , 8ß , 



k dß = ■= — dx + - — dy + ——dz. 



2 r 8x ey" 7 8z 



In dieser Gleichung bedeuten d x, d y, dz die vollständigen Differen- 

 tiale von x, y, z. Die Voraussetzung, dass die gestörte Bahn die 

 ungestörte in jedem Punkte oskuliere, also mit ihr stets eine ge- 

 meinsame Tangente besitze, führt jedoch zu den Bedingungen 



dx 8 x dy 



8y dz 



8z 



dt ~" 8t' dt 



" et' dt " 



" 8 t' 



Bedeutet * wieder eine beliebige der Bahnkonstanten ß, i, w, a, e, <j, 

 so müssen hiernach die Gleichungen 



% d x dt ' \ d •/ dt ' , 8« Jt 



