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déduit, entr’ autres, plusieurs nouvelles propositions 
relatives aux racines primitives des nombres premiers. 
Je commencerai par rappeler les formules qui déter- 
minent l'exposant m, telles qu'elles ont été données 
dans mon article de 1870. 
Les valeurs de r, comparées à celles de a, dans 
l'expression p = 2an + Y donnent lieu à deux cas 
possibles: r peut étre plus grand ou plus petit que a; 
d'ailleurs, comme r et a sont tous deux impairs, ils ne 
peuvent différer entr'eux que d'un nombre pair. On 
aura donc à considérer les deux cas suivants: 1* cas: 
r — a+ 2k et 94 eas: r' — a — 2k, k étant un nom- 
bre entier, premier à a, et qui ne surpasse pas — 5 
puisque la valeur de r et de 1 est comprise entre les 
limites 1 et 2a — 1 inclusivement. 
Cela posé, on aura dans le premier cas: p — dan + Y 
et r = a + 2k 
2847 
+ E - 3k +. 
dE (2) 
2k 
-E (5-26) HE) 
et dans le second: p = 2an +r et r =a — 9k 
r—1 
+ 
2k 
r—1 
à KS 
CTA D 
(5) = pu) z ' J Sg 3 (3) 
Pexposant m étant identiquement le méme que le 
précédent, c'est-à-dire déterminé par la méme for- 
mule (2). Nous entendons par là que la valeur, 
attribuée à r’ dans le second cas, doit être, comme 
dans le premier, r —a-+ 2k, et non 7! = a — 2%. 
Le but que nous nous proposons dans cet article est 
d'indiquer un cas particulier pour lequel l'expression 
de l'exposant m se simplifie de telle sorte, qu'il 
devient possible de se débarrasser de toutes les 
fonetions numériques E qui entrent dans la formule 
(2). La simplification dont il s'agit devient évidente 
en donnant à cette formule la forme suivante: 
Bulletin de l'Académie Impériale 360 
LE sn ` OU 
(5) ee] 
en 
Lal) ` Je 
eier. dE et a eL E 9 A € 
en? 
(k-1)a-1 - 2 , f(k—1) a1 
* E ( "a a E ep | 
Cette valeur de l'exposant m, comme nous venons 
de le dire, étant commune aux cas 
p -—2an--a-4-9k et p = 2aw +a — 2k, 
nous pourrons traiter simultanément tous les deux, 
sauf à tenir compte des deux premières parties des 
exposants de — 1, nommément des termes 
a —1 
2 
ai 
— y et 
(n' +- 1) 
dans les formules (1) et (3). 
Cela posé, il est visible que lorsque 
a+ 1 
A — 
r--1 
2 
+ k 
— 
— 
est divisible par 2%, on pourra de suite se débarrasser 
des fonctions E qui entrent dans la formule (4). En 
effet, en supposant 
e e 6 9 9» «V, * 
y étant un entier, la différence 
( er 
la—1 2 la—1 
B aet ES — HE), 
qu'on peut prendre pour terme général de la formule 
(4), se réduira simplement à œ; de plus, comme le 
nombre de ces différences est k — 1, leur somme sera 
égale à (k — 1) p, et l'on aura 
GE 
2 
m= E 3E 
Enfin, observant que 
r--1 
2 1 
D aA —— i) 
