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des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
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on obtiendra définitivement 
—8 : 1 /a=8 
m = bp ln = (F +k)... (6) 
L'identité (5), mise sous la forme 
er] 2D) hy dado a (7) 
montre que la De des fonctions Æ exige que —— + 
soit un multiple impair de k. Cette condition See 
on aura, en vertu des formules (1) et (6), pour un 
nombre premier p = 2an + a + 2k 
a—1 1 /a—3 
DM UE her T xen: 
(are) = 0 ) pe 
Pour p' = 2an' + gs 2k, l'exposant de — 1 dans 
la formule (3) sera 
m PA, —3 
"e D «0-307 +) = 
et par suite 
—l vy 
GHEET 
)=(-1) el a (9) 
Reprenons. l'égalité de condition (7); observons 
d'abord que p ne peut pas être égal à l’unité, car on 
aurait dans ce cas 
a—1 7 1/a+1 
AAA 
sum o8 
2an'--a—9E 
1 
==, 
ce qui est inadmissible, vu que 2% doit étre inférieur 
à a. Quant aux valeurs p = 2, 3, 4... jusqu'à leur 
limite =S, elles ne présentent aucún signe d'impos- 
sibilité: en effet, en supposant p. — 2, on aura déjà 
< 4; 
à plus forte raison la condition 24 < a se trouvera 
_ satisfaite pour des valeurs de p supérieures à 2. 
La même égalité (7) montre que pour des valeurs 
de la base a de la forme 4e + 1, k devra être impair, 
et pour celles de la forme a = 4e + 3, k sera néces- 
sairement pair. Voici, pour le cas de a = 4e + 1, 
les valeurs correspondantes de k, de y. et de 24 — 1: 
3k eT d'où = 
KEN 
8 
Val. de a: Val. de k: Val, de y: Val. de 2p — 1: 
Days coss sisi. dE A did 3 
S ade v 1 e, PAPE 5 
tI E I... tl E uar 7 
JE. ES EC nt 13 11 
Ms iir... RARE S. 13. 
Pour ce qui concerne la valeur omise a — 17, elle 
conduit aux deux systémes 
Val. de k: Val. de p: Val. de äu — 1: 
e D O 9.9 En wi » 
La valeur a — 29 qui suit immédiatement celle de 
a — 25, donne lieu aux trois systémes suivants: 
Val. de k: Val. de p: Val. de äu — 1: 
f Bien e ` Kë 15 
VER ER RSS Dust se 5 
| Dv. USE Dia TT 3 
Voyons actuellement á quoi se réduisent les for- 
mules (8) et (9), quand a — 4e =- 1; puisque dans ce 
cas I est pair, il n’y aura lieu de considérer que 
les exposants 
+k) et (2). 
1 fa —8 
2 ( 2 
Or, il est facile de voir que ces deux expressions, 
sous le rapport de leur parité ou non-parité, sont 
identiques. Pour cela il n'y a qu'à mettre la seconde 
sous la forme 
1 fa--1 1 fa—3 
2 aee prek ) PS ( 2 
égalité qui, en vertu de k impair, vérifie la congruence 
iC —k) ides 5 ( 3 +k) (mod. 2). 
+k) —k + 1, 
Ainsi, lorsque p = 2an--a--2k et pP = 2an +0—2k 
seront tous deux des nombres premiers à base 
a = 4e +- 1, et que Ti sera divisible par k, 2k étant 
inférieur à a, on aura cette expression trés simple, 
commune aux deux symboles (5) et (5): 
=j). ap 
a a 
(aa) ze [os Ld 
Soient donnés, par exemple, les deux nombres 
premiers ; 
109 = 2.412-41—2.7 et 137 = 2.41 +41 4-2.7 
à base commune a — 41; comme la valeur k= 7 
divise le nombre => =21, on en conclut que la pro- 
position (10) subsiste pour le cas actuel. Ainsi Pon 
| aura 
