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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 366 
Lorsque l'on a deux nombres premiers on a "t égalités 
p=2an +a-+2k et p'— 2an +a—2k, - = (4) =+1 (5) = (i) ==1 
dont la base a — 4e + 3, satisfait à la condition (7), | et pour 
on aura 
BIEN = — ] ou +1 
selon que n sera congru ou incongru à m suivant le 
module 2. 
Ainsi, comme dans les deux exemples précédents on a 
n =w =l = 1 (mod. 2), 
* .. 9 $9 59 
a 
la formule (13) donnera 
eo i 
Soient encore les deux nombres premiers 
47=35+2.6 et 233 — 2.35.3 + 35 — 2.6 
à base commune a = 35; puisque dans ce cas la con- 
dition (7) est satisfaite, et que les deux nombres 
— 0=0 (mod. 2), »'— 3 = 1 (mod. 2) 
sont incongrus entr'eux suivant le module 2, on devra 
avoir 
EVERTI 
an) Vel. eg, 
ce qui en effet est exact, car on a 
(5) 5 —1. e (a) =—1- 
Il est facile de voir que la dernière Proposition 
peut étre généralisée en sorte, qu'il ne soit pas néces- 
saire que les deux nombres premiers considérés aient 
une base commune a; il suffit que chacune d'elles 
soit de la forme 4e-- 3. De plus, le nombre pair k 
peut étre différent pour chacun des nombres premiers 
donnés, pourvu que la condition de la divisibilité par 
2k de la base choir me de l'unité soit satisfaite, et 
que Pon ait k <==. Pour justifier notre assertion 
il suffit de er que les exposants de —1, nom- 
mément n— 1 et si, dans les formules (11) et (1 9) sont 
indépendants de a et de k. Voici quelques exemples 
numériques de cette généralisation: en observant que 
pour les nombres premiers 
37=2.11+11-+2.2, 61— 2.19 + 19 + 2.2, 
47 — 35 + 2.6, 139 = 2.27.2 4- 27 + 2.2 
en 
A 
53 = 2.19 + 19 — 2.2, 61 — 2.23 + 23 — 2.4, 
107— 2.23.2- 28 — 2.4, 233 = 2.35.3 4-35 — 2.6, 
les suivantes: 
9-8 D ne (8) E 
on en conclura 
(5) (51) = (51) (ass) 7 (or) (io) = ete. = — 1, 
(r) (107) = (s) (o) = (o) (as) = ete. = +1, 
conformément à l'énoncé de notre Proposition. 
Toutes les formules concernant le symbole (5), 
rapportées plus haut, sont relatives aux nombres pre- 
miers considérés sous la forme 
p= 2an +r = 2an + a E 2k, 
le reste r étant supposé positif; le cas de v négatif 
se ramene de suite à celui-ci en observant que 
p = 2an — r = 2a(n — 1) + 2a — r, 
ou bien 
2an — r = 2a (n — 1) + (az 2k) 
à cause de r =a + 2k. Il suffira donc, pour avoir la 
valeur du symbole ` ` 
(s ep 
de remplacer dans toutes les formules précédentes le 
coefficient n de 2a par n— 1 et —» par 2a — (a + 2k) 
= + (a 2k), de sorte qu'aux deux formes 
2an — (a E 2k) 
corresponderont les deux formes primitives suivantes: 
2a (n — 1) + (a + 2k), 
la condition de a 4-1 divisible par 2k restant la 
méme pour les deux cas. 
Soient, par exemple, les deux nombres premiers 
151 — 2.29.3 — 23 = 3.29.3 —(29—2.3) 
et 233 = 2.35.4 — 47 = 2.35.4 — (85 + 2.6), 
