. 807 
Bulletin de l'Académie Impériale 
comen 
alli nn inner 
la base de 151 étant 29, de la forme 4e+ 1, et celle 
de 233, 35, de la forme 4e + 3. Ces deux nombres, 
ramenés à la forme primitive, nommément 
151 — 2.29.2 + (29 + 2.3) 
et 233 = 2.35.3 + (35 — 2.6), 
satisfont tous deux à la condition (7); on aura donc, 
comme du reste on Pa déjà vu plus haut, 
(2) ar) 
Sei — +1 .(par la form. (10)) 
(ass) eg Lon LÉI eL es (par la form. (12)). 
233 
Les formules précédentes conduisent tres simple- 
ment à diverses propositions particulieres; nous allons 
en rapporter quelques-unes. 
Pour tirer des conséquences des résultats trouvés 
plus haut, il faut considérer les nombres premiers 
comme dépendants de la base, à laquelle on les rap- 
. porte, et qui peut être de l'une des deux formes 4e + 1 
ou 4e-a- 3. Rappelons qu'en supposant la condition 
(7) satisfaite, l'expression 
lud 
1°‘ * 7. du symbole (5) [form. (10)], 
dans les cas de 
a=4e+1 et p= 2an-r a 2k, 
est indépendante de n. 
Dans le second cas, c.-à-d. quand a — 4e =+ 3, 
l'expression du symbole (5) ne dépend que de la parité 
ou non-parité du facteur n, et ne dépend nullement 
des nombres a et k, comme on le voit par les for- 
mules (11) et (12). : 
De la formule (10) découle immédiatement la Pro- 
position suivante: d 
Étant donné un nombre premier 2an + a+ 2, 
on aura i 
amey] = + ] ou — 1 
suivant que la base a sera de la forme 8e+ 1 
ou Be + 5. 
En effet, puisque la valeur de % pour un nombre 
premier présenté sous la forme Zon rat 2.1 est 
égale à Punité, la condition (7) se trouvera néces- 
sairement satisfaite. De plus, en substituant à « les 
deux nombres 8e-- 1 et 8e-+ 5, nous aurons pour 
H 1 /a-+ 1 
Pexposant ; Ze — 
(E — 1) = 2 et lucem 
dont la premiere est paire, et la seconde impaire, 
comme exige l'énoncé de notre Proposition. 
Plus généralement, on peut se proposer la question 
suivante: 
Le nombre k étant donné, quelle doit être la forme 
plus particulière de la base a = 4e + ] pour avoir à 
volonté 
) les deux valeurs 
VE seems rues 2 
(za) | ou =l: 
Pour résoudre cette question substituons dans l'ex- 
pression Pos 
A zo k) 
de l'exposant — 1 dans la formule (10) 4e + 1 à la 
place de a et 25 2-1 à la place de k, ce dernier 
nombre devant étre impair. Cela posé, l'exposant en 
question deviendra simplement 
1/a+1 , 
(E —1) ek. SEET (14) 
Voyons maintenant quelle doit étre la forme de e 
dans la valeur de a = 4e +1 pour que a + 1 = 
2 (2e + 1) soit divisible par 2% = 2 (2 + 1), c.-à-d. 
pour que la condition (7) soit remplie. En représen- 
: a 2-1 
tant par A le quotient —:—, on aura 
a+1 2e+ 1 
9k Mal —— 4, 
ou bien 
(DR +1) 4—2e — 1. 
Or, les valeurs générales de e et de A qui satisfont à ` 
cette équation indéterminée sont 
e=k (DN A De A=1+%, 
ou bien 
k—1 r 
Qo tke, 
d étant un entier quelconque. On aura donc 
a = Ake + 2k — 1 
Si Pon observe que 
e—k =ke =e' (mod. 2), 
on conclura de suite des formules (14) et (15) que ` 
pour un nombre premier 
