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p= 2an + a + 2k formules (11) et (12) conduisent de suite à la consé- 
à base quence suivante: 
a= Ake' + 2k— 1, 
le symbole (5) se réduit simplement à 
(eV 
c.-à-d. que l'on a 
D a PR ERA 
(5) = 1 ou +—1 
suivant que d est impair ou pair. 
Exemples: soient les deux nombres premiers 
23=17+2.3 et 11 = 17 — 2.3 
à base commune a — 17 = 4.3 + 2.3 — 1, qui satis- 
fait aux conditions (7) et (15), car on a n = o, k=3, 
e — 1; or, puisque d est impair, nous aurons 
(s) 7 (8) 7 —1- 
Supposons encore 
p=83=69 + 2.7, o= 69 = 4.7.2 -- 2.7 — 1, 
et par conséquent n — 0, k = 7, € = 2; comme dans 
ce cas d est égal au nombre pair 2, on trouvera en 
vertu de la formule (16) 
Ww Dr 
Faisons encore voir en passant que pour une base 
égale à un nombre carré b°, le symbole (2) en vertu 
de la formule (10), se réduit a +1, comme cela en |^ 
effet doit avoir lieu. Nous nous référons à cette for- 
mule, parce que le carré d'un nombre impair rentre 
dans la forme Ae 1. Tout se réduit donc à montrer 
que l'exposant 
1 /0? 4- 1 
E!) 
est un nombre pair. Pour cela observons que le nombre 
impair k, premier à b°, devant diviser la somme b’+-1 
de deux carrés, sera né irement de la forme 444-1; 
quant au carré 2?, il aura la forme 85’ + 1. En sub- 
stituant ces valeurs dans l'expression de l'exposant, 
on obtiendra en effet 
1 b? 4-1 D 1 
== in k)= 3 (j. — Kk). 
Passons actuellement au cas de a = 4e+ 3. Les 
Tome XXII. 
Étant donné un nombre premier 2an + a + 2.2, 
dont la base a est de la forme 4e + 3, différente de 
2'— 1, on aura 
tore =+] où —1 
et ( 
5) — 1 ou +1, 
suivant que n sera impair ou pair. 
En effet, comme a — 4e+ 3 et k — 2, la somme 
a + 1 = 4e + 4 sera divisible par 24 = 4; par con- 
séquent la condition (7) se trouvera satisfaite. 
Il est d'ailleurs visible que ce Corollaire subsiste 
pour toute base a de la forme 
a = 2ke' — 1 
k étant pair et d désignant un entier quelconque, 
supérieur à 1. 
Exemples: pour le trois nombres premiers 
29 =2.11+11 — 2.2, 6122.19 + 19 + 2.2, 
101 = 2.21.2 + 21 — 2.2 
on aura 
11 19 21 
(5) = — l, Met Lëck + li 
Voici un autre Corollaire des mêmes formules (11) 
et (12): 
Soit p un nombre premier, ient au double de 
la base a — 4e — 3 à laquelle on le rapporte. Si ce 
ombre p augmenté de l'unité est divisible par sa 
différence à la base, c.-à-d. si 
pi X dk 
on aura 
suivant que p sera supérieur ou inférieur à a. 
Pour s'en convaincre il n’y a qu'à observer que le 
nombre premier p, dans le cas actuel, est de la forme 
p =a + 2k; 
on aura done n= 0, n'= 0 et 2k <a; de plus, comme 
la divisibilité de a + 1 par 2k entraîne la divisibilité 
de p + 1 par le méme diviseur, il en résulte que les 
formules (11) et (12), en y faisant n=0, n '=0, con- 
duisent immédiatement à la conséquence Ben 
