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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
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de ces deux cas, á cause de 4” pair, la base a est de 
la forme 4e-+ 3, et que le nombre A’ est impair, le 
symbole (5) ne pourra pas étre déterminé par nos 
formules. 
Il pourra aussi arriver que l'équation (20) soit im- 
possible. Par exemple, si, pour p — 29, on prend 
n — 2, cette équation se réduira à l'égalité 
e 17 = A' (5.A" + 1). 
qui ne peut avoir lieu. 
Le méme nombre premier 29, pour n= 1, donne 
l'équation 
$ 16=4'(34"+1), 
qui fournit les résultats suivants: 
A'—1.. 4=5...4=.9..,29=18.1+ 9--2.1 
A=2.,.4=3 ..4=11...29-22.1+ 11—2.2 
A—4...2'=1...a= 7...29=14.1+ 7+2.4 
38... A =i EB}. 298011728. 
Les deux premières solutions, nommément 4= 1, 
a = 9 et 4'— 2, a — 11 rentrent dans nos formules, 
comme on le voit par les indications suivantes: 
ues 
tata 
E 
2 
a— 9=42+1, 4=1, 
a=11=42+3, 4=2, 2< 
on aura donc 
| (as) ==] [par la form. (10)] 
29 
(5)= — 1 [par la form. (12)]. 
Quant aux deux solutions restantes 4=4, a = 7 et 
A'=8, a= 15, elles ne satisfont pas à la condition 
As =>, par suite de quoi nos formules ne leur sont 
pas applicables. 
Considérons en particulier le nombre premier 
p = 2an + a + 24 
sous sa forme la plus simple 
phat 2A, 
le premier terme 2a» s'annulant par la supposition 
n — 0; l'équation (20) se réduira alors à 
| P= A (A"& 1), 
P, A' et A" étant définis par les formules (19) 
et (21). . | 
Dans cette supposition il faudra décomposer le 
nombre P en ses facteurs, et soumettre à l’examen 
chaque double produit 4'(4” + 1). Commençons par 
indiquer les formes par rapport au module 4 que 
doivent affecter A’ ou k et p — a= 2k dans chacune 
des deux hypothèses a=4e+1 et a=4e+w 3; 
on trouvera facilement que ces formes sont: 
cd k=2k+1, p—4l--3 
vier E ar pis doe 
[uat EE EE AE e» 
xcd t = 2-1, p 
a dee T oy. p — 4l a- 3. 
Le premier et le dernier de ces quatre cas sont rela- 
tifs à la forme p — 4/+3, et rentrent dans nos for- 
mules; quant au second et au troisieme, qui se 
rapportent à la supposition p = 4/ + 1, ils échappent 
à ces formules, car elles exigent que k soit impair pour 
la base a = 4e +1 et pair pour la base a = 4e +3. 
Soit, par exemple, le nombre premier p — 47 de 
la forme 4/ + 3; l'équation (22) donnera 
TE ee 24 — 2, 8 — d (4 EI); 
cette égalité conduit aux systèmes suivants des 
valeurs pour A. A" et a: 
A A" a=244"—1 
1.55.98, 95. 04 bj 49 
D, 45815... 49,01 
9... 45,295 541,09 
j à 55. T; ML M 
B... De D. do, B0 
8. ^n 01,069 
ii. b 5. AXI 
dE... d o, 95. 
Comme toutes les valeurs de la base a pour A’ pair 
sont de la forme 4e 3, et pour A’ impair de la 
forme 4e- 1, il s'en suit que nos formules sont 
applicables à toutes celles des valeurs trouvées de A 
qui satisfont á la condition 
eh! 
PA redd 
Or, sur les 15 valeurs de a, il n’y en a qu'une 
seule, nommément a — 23 qui, pour Æ = 12, ne 
remplit pas cette derniere condition; on aura donc en 
vertu de la formule (18) 
24* 
