Bulletin de l'Académie Impériale 
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Für die von der Grenzcurve abgelösten (freien) Theile 
des Fadens ist W= 0. Betrachtet man namentlich die 
Trennungsstelle, so verwandeln sich bei dem Über- 
gange vom letzten anliegenden zum ersten freien Faden- 
elemente R, und i, sprungweise in F und 4 und da die 
Spannung © im ganzen Verlaufe des Fadens dieselbe 
bleibt, so geht auch W von einem letzten endlichen 
Werthe sprungweise in Null über. 
Es sei Q die Resultante von P und N (ich erlaube 
mir, den normalen Widerstand der Fläche jetzt durch 
N statt des früher gebrauchten A zu bezeichnen), so 
hat man Q= Pcosi+ Nsini, P sini — Ncosi, also 
Q— m und 0 = RQ. Für den an die Grenzcurve ge- 
drängten Theil des Fadens sind nur P— W, R,, i, an | 
P—W 
cost 
die Stelle von P, R, à zu setzen, wodurch Q, = 
und 0 = Q, R, erhalten wird. 
In dieser Form zeigt sich am einfachsten die stati- 
sche Bedeutung der Gleichung für 9; sie drückt nur 
den bekannten Satz aus, dass nach Zerlegung der auf 
den Faden wirkenden Kraft in eine tangentiaie und | 
Function von z, wie es eine solche von s war. Die vor- 
eine normale Componente die Spannung der Kraft- 
summe gleich ist, welche zusammenkommt, wenn auf 
einen geradlinigen unbiegsamen Faden von der Länge 
des Krümmungshalbmessers A überall mit der Inten- 
sität der normalen Componente Q in derselben Rich- 
tung eingewirkt wird. 
Im vorliegenden Falle ist die tangentiale Compo- 
nente überall gleich Null, daher die Spannung überall 
dieselbe. Da auch P constant und Ph — 9 ist, so hat 
in allen freien Theilen des Fadens einen und den- 
selben Werth. Insbesondere kann auch an der Tren- 
nungsstelle, wo ebenfalls die Gleichung 0 = RQ gilt, 
der Faden keinen endlichen Winkel mit der Grenzcurve 
bilden, sondern muss dieselbe berühren. 
Diese hier aus der statischen Betrachtung herge- 
leiteten Sätze sind von Steiner im 24. Bande des 
Crelle'schen Journals Seite 150 in Bezug auf alle 
krumme Flächen zuerst allgemein ausgesprochen wor- 
den. 
Der schon bemerkte Umstand, dass die Curve kür- 
zesten Umrings auf: Umdrehungsflüchen sich nicht un- 
mittelbar schliesst, tritt aus den Formeln am deutlich- 
sten hervor, wenn statt des Meridianbogens s die Flä- 
chenzone 2r.Fs als unabhängig veränderliche Grösse 
eingeführt wird. Es sei a eine beliebige constante 
een... 
Länge und az — Fs = frds, ferner sei r = fs — on, 
also <= = ds, auch werde ah! für h und aR für R 
á ds Fy'— 
gesetzt, so erhält man aus der Formel dg = T RE 
die folgenden: 
odp x'—x 
= VR” 
ues adz lm 5 9 2 a ah da — ada 
el EC "wn [ea 
a? 4 CE) 
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‚_fade z'—x  » fade oe 
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dabei ist | 
p. c «€ —u o RE Apa "e 
= D PPT tueur = pa”, 
gp gt Fs), az — Fs; az — Fs, R'=h'r?—(2'—2y’, 
R =0 für z — 2? und z = x". 
Da dr? ~ dz = ds? ist, also ds? > dr’, so muss 
auch A (=) oder a? > (ox: ox) sein; wird diese 
Bedingung erfüllt, so ist r eine eben so willkürliche 
stehenden Ausdrücke von 4 und g” zeigen, dass diese 
Grössen nur ausnahmsweise einander gleich werden 
können, da bei denselben festen Werthen von 2° g” 
^r" auch mit Rücksicht auf obige Einschränkuug der 
Verlauf der Function ox oder r noch ganz unbestimmt 
bleibt. Wenn aber oz gegeben ist, so stellt die Glei- 
chung d — 4" die Relation zwischen 2? und g” dar, 
welche bestehen muss, damit die Curve sich unmittel- 
bar schliesse. ` 
Nach allem Vorhergehenden besteht die vollständige 
geschlossene Curve kürzesten Umrings auf Umdre- 
hungsflächen aus zwei analytisch sehr verschiedenarti- 
gen Theilen, nämlich aus den beiden symmetrischen 
Bogen, welche ich mit dem Namen Halbrunde zu be- 
zeichnen versucht habe, und aus dem die Enden der- 
selben verbindenden Kreisbogen. Beide Theile haben 
bei ihrem Zusammentreffen nicht allein gemeinschaft- 
liche Tangenten, sondern auch ihre Krümmungshalb- 
messer fallen daselbst nach Lage und Grösse zusam- 
men. Daher behalten auch beide Theile nach der Ab- 
wickelung dieselbe Krümmung i oder, wie es passender 
gesagt wird, der ergänzende Kreisbogen überträgt das 
ihm zugehörige h auf den ganzen weiteren Verlauf der 
Curve. - 
