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BULLETIN 
DE L'ACADEMIE IMPERIALE DES 
SCIENCES DE ST-PETERSBOURG. 
Eine Anwendung der Differenzen-Rechnung. Von Ferd. 
Minding. (Lu le 5 septembre 1878.) 
Ks sei m eine positive ganze Zahl, a eine beliebige 
Constante, z ein ächter Bruch und 
Sy = a" + (a+ 1)" x + (a + 2)" g$ + 
+ (a+ 1)" a? +... in inf. 
Obgleich es nicht an Mitteln fehlt um diese con- 
vergente Reihe zu summiren, da man z. B. mit Hülfe 
der Relation ` xil d a, allmilich zu immer 
a 
hóheren Potenzen dien kann, so ist es doch viel- 
leicht nicht überflüssig das geb und zugleich 
wirksamste dieser Mittel bosonders hervorzuheben; es 
besteht darin, S, mit (1 — x)" #1 zu E 
Schreibt man 
(1—2)^ *' = 1— (m + 1), + (m + 1),2? 
+ (— 1» bd 1,2 +. 
und setzt man 
(TS = Dt Cx HOPA + Cah... 
so folgt: C, = 
a) (a+p)"— (m+ 1), (a+p—1)" + (m--1), (a+p—2)™... 
+ 1) (m-- 1), (a--  — A)". (— 1) (ma- 1), & 
Bezeichnet,' wie gewöhnlich, A(z”) die Differenz 
2" — (g — 1)", so ist nach einem bekannten Satze 
ATH (97) — zZ" (m+ 1), (e—1)"4- (m1), (e— 2)" ... 
+ (— 1)" *'(g— m— 1)" = 0; 
für z — a + p erhält man also 
(a + y)" — (m + 1), (a+ p — 1)" + 
+ (—- 1)" *'(a-- y — m — 1)" — 0. 
Die Vergleichung dieser Formel mit obigem Werthe 
von C, lehrt, dass für y. = m + 1 und für > m-+1, 
C,=0 wird, da (m + 1), = 0 ist, sobald A > m + 1. 
Tome XXV. 
Ist Pio p= m oder y. < m, so erhält C, den 
in der Formel a) angegebenen Werth, zugleich "aber 
hat man 
A” ay)” = C ut ee +1) EL tw +... 
+ (— 1)" *" (a 4- y — m — 1)" — 0, 
wodurch C, in einer zweiten Form erhalten wird, 
nämlich 
b) em +1 — 0)" (m 4-1) (npa) 
+ (— 1)" TE (m + D), a0 79). 
Hiernach ist 
5, — ot Dër: 0,07 +. + Oma 
ESCHER 
und zwar hat man nach der ersten Form 0:0 =, 
C, — (a+ 1)" — (m -& 1),a” 
C, — (a + 2)" — (m + 1), (a + 1)" + (m + 1),a™ 
C,=(4+3)"—(m-+1),(a-+2)"-+(m+1),(a+1)"+(m+1 Loi 
u. 8. W.; 
nach der zweiten Form b) 
C, = (m — a)" — (m +1), (m — a— 1)"... 
+ esst AC EA —a)™ 
C, = (m — a — 1)" — (m+ 1), (m — a — 2)"... 
+ (— 1)" (m + 1), (1 — a)" 
24,77 (2 — a)" — (m+ 1), (1 — a)" 
C, —(1— a)". 
Für beide Formen besteht dasselbe Bildungsgesetz; : 
in der ersten geht man von a = bis a, in der zwei- 
ten von 1— a + m —3. bis 1—a terih: schreibt 
man in der ersten für a, 1 — a und für p, m — p, so 
entsteht die zweite oder man hat in kurzer symboli- 
scher Bezeichnung 
C, — [a+ p, a] — [1 —a + m — p, 1— a]. 
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