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Bulletin de l’Académie Impériale 
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Daher wird nach der zweiten Form 
C, C, 
parler Re 1a] und C, , ‚=[2-a+p,1-a]. 
Für a = 0 ist C, = [p, 0], wofür man auch [p, 1] 
schreiben kann, also C, = [p 1]; Ga vu wird aber 
ebenfalls = ln, 1]; Cie ist für a = 0, C, = e; Ge A 
Für a = 1 hat man C= [m— p, 0] = [m— p, 1], 
Capi = [^ ul], ler C, = Om 
Für a=; wird €, — [5 +p, Dé 
(nach der zweiten Kee also C, — C. 
Setzt man A „= C,— C, + Gs US ED", 
so ist also für a = 0, €, — 0, C, = Cp, U. s. w., da- 
her wenn m eine gerade Zahl ist, A. — 0. * 
Für a=1 wird 6, —0, 6, — 06, 
her wieder für ein gerades m, A,, = 0. 
Für a= $ ist O = Cm C, — C, , U s. W., also 
für ein ER mid; == 0. 
Das Polynom 4,, ist folglich durch a (a — 1) theil- 
bar, wenn m gerade, hingegen durch 24 — 1, wenn m 
ungerade ist. 
ME 
E are 
Insbesondere ist daher für. a=] 
(1278, = lt 
+ C, (a^ a" et), i 
m—2 
+ C (z-- x +... 
m m 
RE N 
+ C, Lei + Ga wenn m gerade 
Fe 
m—1 
oder + C,_,x wenn m ungerade ist. 
2 . 
Eine andere Eigenschaft der C wird ausgedrückt 
durch die Gleichung: 
Det: €, -1- C, -- ...-—- C, =m! 
Zum Beweise multiplicire man S,, mit (1 — z)"; es sei 
(1— 2)^8, — E,-- Bez Eg.. 
ot Pus 
so wird E,— a^, E, = (a +1)" — ma”, u.s. W., 
En_ı = e pud — m, (a+ m — 2)” 
+ (—1)" mé oder E pa —A"(a--m—1)" —(1—a)^. 
Da aber allgemein A" (2^) = m! ist, so folgt. 
E m! — (1— ay", 
m — 
" = 
, U. 8. w.; da-. 
Für j.—m oder p> m wird E, = A" (a-- y)" = m!, 
daher (1 —2)"8, = E,-- Eat Eg... 
Hd uam i-e aet 4- TL 
oder ` (1—2)"*'S, —(E,-- Ex... 
+ E, 4" —(1—a)z" )1—z)-4- mia", 
Das Polynom rechter Hand muss mit dem obigen 
C, + Ox Cj? +...+ C2” übereinstimmen, und 
zwar für jedes z; daher folgt: für z= 1,0, + C. 
4- C, — ml. 
Es sei 
S _ oe Coin + Cm? +... + Om amt! 
m1 (= an +2 
oder nach der im Eingange erwähnten Relation 
d (2° Sm) 
Ee ar Smet 
Cox9-- Cr El, +02 Hm ) 
m Oo 0 ate... +O ny ae 
aa Tide (1 — «) d 
so folgt nach einer leichten Rechnung für alle » von 
0 bis y = m + 1 die Recursionsformel 
C', = (a =+ y) €, +m ag, 
4? 
wo C, , , = 0 zu setzen ist. 
Für m —1 ist C, =a, C,=1—a; wenn nun a 
und 1 — a beide positiv sind oder auch eine dieser 
Grössen = 0 ist, so zeigt vorstehende Formel, dass 
alsdann die C für jedes beliebige m immer positiv sind. 
Setzt man C, + Cix + C++ C, a" — P (x, a) 
und bildet hiernach ® (x, a + n) = 0,” 0 z... 
+ C, g^ so — sich die Summe der endlichen 
Reihe : 
8. = 4 + (a+1)" a+(a+2)" w.. ena nw, 
nämlich 
Bt a P (m, a) — a" 35 (x, a + n) 
^ (1— gmt 
SÉ? N 
"d (1 — gr #1? ; 
Diese Formel gilt für jedes z, da die bei der un- 
endlichen Reihe nothwendige Bedihgäng a < 1 hier 
wegfällt. Für x = 1 und z — — 1 findet sich S',, aus 
bekannten Summationsf meln; aus der vorstehenden 
Formel würde sich der Werth von 8, fürz -1 nur 
durch wiederholte Differentiationen des Zählers N er- 
