Geometrische Darstellung recurrirender 



Reihen mit zwei- und dreigliedriger 



Relationsscala. 



Von Prof. H. F. Scherk. 



(Hierzu Tafel IL) 



Es giebt verschiedene Arten, die einzelnen und die Summen- 

 glieder geometrischer Reihen, also recurrirender Reihen mit ein- 

 gliedriger Relationsscala geometrisch darzustellen. Eine der be- 

 kanntesten ist die, dass man von einem gegebenen Dreieck aus- 

 gehend, ein zweites bildet, dessen Seiten die von den Spitzen des 

 ersten nach den Mitten seiner Gegenseiten gezogenen Transversalen 

 sind; der Inhalt des zweiten Dreiecks ist bekanntlich Z U des er- 

 sten. Verfährt man mit dem zweiten Dreieck in gleicher Weise, 

 wie mit dem ersten, so erhält man ein drittes, dessen Inhalt (f) 2 

 des ersten, dann ein viertes, dessen Inhalt (|) 3 des ersten ist 

 u. s. f. Es ist mir aber nicht bekannt, dass man auch die Glie- 

 der von recurrirenden Reihen, deren Relationsscala aus mehr als 

 Einem Gliede besteht, geometrisch darstellen könne, und da jede 

 Beziehung zwischen der reinen Zahlenlehre und der räumlichen 

 Darstellung ihrer Resultate ein besonderes Interesse hat, so glaube 

 ich dasselbe auch für die folgende Untersuchung in Anspruch 

 nehmen zu dürfen. 



A. rx fg a, t» e. 



(Fig. I.) 



Es sei ABC ein beliebiges Dreieck. Ueber den Seiten des- 

 selben construire man nach aussen hin, wie bei dem Euclidi- 

 schen Beweis des Pythagoraeischen Lehrsatzes, Quadrate, und 

 verbinde die Endpuncte je zweier, von demselben Eckpuncte des 

 Dreiecks ausgehenden Seiten der Quadrate, so bilden diese Ver- 

 bindungslinien mit den, den Seiten des Dreiecks gegenüberstehen- 

 den Quadratseiten ein Sechseck DEFGHJ. Construirt man nun 

 ferner über den 3 Verbindungslinien Quadrate, und verbindet 

 wieder die Endpuncte der von derselben Ecke ausgehenden Qua- 

 dratseiten, so entsteht ein zweites Sechseck KLMNOP. So fährt 

 man mit der Construction neuer Quadrate, neuer Verbindungs- 



