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Knien u. s. w. fort. Es sollen nun die gegenseitigen Beziehungen 

 der auf diese Weise entstandenen Figuren, und namentlich die 

 Grösse der Verbindungslinien und der Inhalt der aufeinander fol- 

 genden Sechsecke angegeben werden. 



A. U f 1 ÖSllll ££. 



1) Bezeichnet man wie gewöhnlich die Seiten des gegebenen 

 Dreiecks durch a, b, c, so hat jedes der Dreiecke AGH, BDJ ? 

 CEF denselben Inhalt wie das Dreieck ABC, da jedes mit ihm 

 zwei Seiten gemein hat, und die eingeschlossenen Winkel Supple- 

 mente der Dreieckswinkel sind; folglich ist 



A ABC == A AGH = A BDJ == A CEF == J, 

 und demnach der Inhalt des ersten Sechsecks 



DEFGHJ = a 2 + b 2 + c 2 -+ 4 J. 



2) Werden die ersten Verbindungslinien GH, JD, EF resp. 

 durch a,, b,, c, bezeichnet, so ist 



a 2 == b 2 + c 2 - — 2 bc. cosA 

 a, 2 = b 2 -f- c 2 4" 2 bc. cos A 



folglich 



i a 2 



+ 



a, 2 



== 2 (b 2 + c 2 ), und 



b 2 



+ 



b, 2 



= 2 (c 2 + a 2 ) 



c 2 



+ 



c, 2 



= 2 (a 2 + b 2 ) 



also a, 2 -f- b, 2 + c, 2 = ; 3 (a 2 .+ b 2 + c 2 ). 



3) Ferner haben die Dreiecke OHJ, AGH gleichen Inhalt, da 

 sie 2 gleiche Seiten und Supplementwinkel haben. Aus demselben 

 Grunde ist A PHJ == BDJ. Da nun (nach Nr. 1) £ AGH == 

 A BDJ, so ist A OHJ == PHJ und da sie dieselbe Grundlinie 

 haben, so ist OP parallel HJ, also OPHJ ein Paralleltrapez ; das- 

 selbe gilt von MNGF und KLED. 



4) Verlängere ferner FG nach beiden Seiten, so dass GQ ±= 

 Fß = RS = FG s= b werde, so haben die beiden Dreiecke 

 NGQ und HGA zwei gleiche Seiten a, , b und ihr eingeschlossener 

 Winkel ist das Complement von HGQ , also ist L NQG = GAH 

 = 180 ° — A und NQ = HA = c ; ebenso ist Z MRF = 180 ° 

 — C = FCE, also sind die Dreiecke MRF und FCE congruent 

 und folglich MR = CE = a. Demnach hat das Dreieck MRS 

 die 3 Stücke a, b, C und folglich ist Z MSR = A und MS = AB 

 = NQ = c. Da auch NQG = 180° — A war, so ist MNQS ein 

 Parallelogramm, dessen Höhe gleich dem von B auf AC gefalle- 

 nen Perpendikel ist, und MN = QS = 4 b. Demnach ist, wenn 

 die zweiten Verbindungslinien durch a„ , b„ ,.c„ bezeichnet werden, 



a„ = 4a 

 b„ = 4b 

 c„ ±= 4c 



