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2. Nach der verschiedenen Beschaffenheit, welche der be- 

 stimmende Bruch eines Quincunx haben kann, lassen sich die 

 >rten des Quincunx in gewisse Gruppen th eilen ; und zwar nach 

 verschiedenen Gesichtspunkten, wie folgt: 



I. Nach der Verschiedenheit des Zählers im bestimmenden Bruche. 



Erste Gruppe: alle Bräche haben 1 zum Zähler und zum 



Nenner nach und nach alle übrigen ganzen 

 Zahlen ; also : 



]> 5) -1, T, f !•• S. W. 



Zweite Gruppe: alle Brüche haben 2 zum Zähler und zum 

 Nenner eine der ganzen Zahlen von 5 an, 

 die mit 2 keinen gemeinschaftlichen Theiler 

 hat ; also : 



i s 7 J -g-3 TT 3 TT u - s - "• 



Dritte Gruppe: alle Brüche haben 3 zum Zähler und zum 

 Nenner eine der ganzen Zahlen von 7 an, 

 die mit 3 keinen gemeinschaftlichen Theiler 

 haben ; also : 



T> TTT3 IT' TT' TT u * s> w - 



Die Anzahl solcher Gruppen ist, wie man sogleich übersieht, 

 unendlich; wir begnügen uns daher mit den angeführten. 



II. Nach der Verschiedenheit des Nenners im bestimmenden Bruche. 

 Erste Gruppe: der Nenner ist 2. 



Hier giebt es nur den Bruch j. 

 Zweite Gruppe: der Nenner ist 3 . 



Hier ist gleichfalls nur ein Bruch, nämlich j. 

 Dritte Gruppe: der Nenner ist 4. 



Hierher gehört -j. 

 Vierte Gruppe: der Nenner ist 5. 



Brüche :£,-§=. 



In dieser Weise wird auch hier die Bildung neuer Gruppen 

 in's Unendliche fortgesetzt werden können ; die Zähler hat man 

 stets so zu bilden, dass man Zahlen wählt, die mit dem jedes- 

 maligen Nenner keinen gemeinschaftlichen Theiler haben und einen 

 Werth des Bruches bedingen, der kleiner ist als die Hälfte 

 der Einheit. 



III. Nach der Beziehung der Zähler und Nenner zu einander. 

 Jene Zahlen , welche die bestimmenden Brüche zusammen- 

 setzen, bilden mit einander sogenannte „rücklaufende Reihen" 

 d. h. sie folgen so auf einander, dass man die nächstfolgenden 

 aus den vorhergehenden durch Addition bestimmen kann. 



Die erste und einfachste dieser Reihen ist zugleich die unter 

 allen häufigste. 



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