des Sciences de Saint- - Pétersbourg. 
lité de construire un triangle rectangle isoscéle, de dimen- 
sion arbitraire, et dont la somme des trois angles est égale 
à deux angles droits. De là découle, comme consé- 
quence immédiate, l'existence du quarré tel qu'on dé- 
finit cette figure en géométrie. Nous allons démontrer 
ces deux propositions. 
Fig. 1. Soit AB — a (Fig. 1) une 
——ı# droite de longueur arbi- 
traire; de son extrémité A 
élevons la perpendiculaire 
AC — AB — a à cette droite, 
et joignons les points B et 
C par la ligne BC = La 
| longueur de cette droite BC, 
Ao" m ” évidemment entièrement dé- 
finie, dépendra uniquement de la longueur qu’on aura 
attribuée à AB — a; en effet, la connaissance de cette 
longueur 4, avec la condition de la perpendicularité 
respective des deux lignes AB et AC, suffisent com- 
plétement à la détermination de BC, sans qu'on ait 
besoin d'aucune autre donnée. Quant à la mesure 
exacte de la ligne BC = x, comparée à AB == a, elle 
reste en attendant inconnue: ce que nous en savons 
pour le moment, c'est que, comme oblique, elle est 
plus grande que AB — a, et comme étant le plus court 
chemin entre les points B et C, elle est plus petite 
que AB + AC = 2a. Ainsi, en désignant par k un 
nombre abstrait compris entre 1 et 2, on pourra poser 
BC=2=hk.a. 
C 
Il est important d'observer que ce coefficient k, qui 
représente un nombre abstrait, aura en méme temps 
une valeur constante. En effet, si l'on admet que k dé- 
pend de a, a, à son tour, dépendra de k; par consé- 
quent la quantité a, comme «ankliteniept déterminée 
au moyen du nombre abstrait k, ou bien, parlant ana- 
lytiquement, comme fonction de k, se réduira elle 
méme à un nombre abstrait. Or, cette conclusion est 
inadmissible, car « représente non un nombre ab- 
strait, mais une quantité concrète, nommément une 
étendue en longueur. Donc k ne peut pas dépendre 
de a, du moins de cette quantité seule. Prévenons 
‘encore une objection: on dira, peut-étre, qu'il peut 
entrer dans la composition du nombre k, outre la lon- 
gueur a, une autre longueur constante, supposons /, 
et qu ‘alors le coefficient k étant déterminé en fonction 
du rapport $, et restant par conséquent abstrait, dé- 
pendra de a. Cette hypothèse est également inad- 
missible: en effet, la question ne fournit aucune autre 
donnée que celle qui est relative à la longueur a avec 
la condition de la perpendicularité respective des 
lignes AB et AC; de là il faut conclure que toute autre 
longueur auxiliaire, telle que /, comme subordonnée 
à celle de a, en dépendra nécessairement, et par cela 
méme ne pourra pas étre constante. Donc, défini- 
tivement, le coefficient k sera constant; toutes les con- 
clusions subséquentes, comme nous, le, verrons plus ` 
bas, découlent de cette propriété du nombre k. 
Portons actuellement à partir des points B et €, 
sur les droites AB et AC prolongées, les longueurs 
BR = AB — a et CC — AC = a; la ligne BC = x! 
qui joint les extrémités B’ et € se déterminera au 
moyen de AB’ = AC’ = 2a précisément de la méme 
manière que la longueur BC — x a été déduite de 
AB = AC =a. Donc 
BC = x =k . 2a = 2x, 
c.-à-d. que la longueur BC est double de BC. 
Cela posé, abaissons du point A la perpendiculaire 
AD’ sur la ligne B'C'; cette perpendiculaire divisera 
side DC en diii parties égales BD = CD 
B — AC, la ligne AD' sera 
| Flies. visinddintinine à BC, et divisera cette der- 
niére, au point D, en deux parties égales, de sorte 
qu'on aura BD = CD — = 4a. 
Le raisonnement qui nous a servi à prouver que 
B'C' — 2 . BC s'applique, mot-à-mot, à la démonstra- 
tion de l'égalité AD’ — 2. AD. En effet, il est visible 
que, la ligne AB — AC — a étant donnée, et sachant 
en outre que ces deux droites AB et AC doivent étre 
perpendiculaires l'une à l'autre, la longueur de la 
perpendiculaire AD = y, abaissée du point A sur BC, 
sera complètement définie; donc cette longueur AD 
se réduira à une certaine portion de la e a; de 
sorte qu'on aura ` 
AD — yK: se 
k représentant un nombre abstrait, ipstntiellemont 
constant, et inférieur à l'unité, car 4D, comme per- 
pendiculaire à BC, sera inférieure à l'oblique AB = a. 
Pour une longueur double de a, c.-à- d. — Von 
