Bulletin de l'Académie Impériale 
prend pour côtés de l'angle droit les lignes AB’ = 
AC — 2a, la perpendiculaire en question devient AD', 
et l'on a 
AD = k'. 2a = 2y, 
ce qu'il s'agissait de faire voir. 
En partant de ces considérations, la proposition 
que nous avons en vue se démontre trés simplement. 
Pour dela, commençons par joindre les points B et € 
avec D'; les triangles rectangles DAC et DD'C ayant 
leurs cótés AD, DC et DD', DC respectivement égaux, 
seront eux mêmes égaux. Done CD’ — AC — a, et de 
plus l'angle CD D. comme égal à l'angle CAD = 45°, 
sera lui méme égal à la moitié d'un angle droit. En- 
fin, puisque le triangle CD'C' est isoscéle, l'angle CC'D' | 
sera égal à l'angle CD'C = DD'C — CDD. c.-à-d. à 
la moitié d'un angle droit. Il en sera évidemment de 
méme de l'angle BR D. De cette manière nous par- 
venons à la conclusion que dans tout triangle rectangle 
isoscèle AB C , la somme des trois angles est égale à deux 
angles droits. En se basant sur cette proposition ca- 
ractéristique, on peut établir d'une maniére rigou- 
reuse, comme on le sait d'ailleurs, toute la théorie 
des paralléles. 
Remarquons en passant que chacun des Gees ai- 
gus ACD, ABD etc. est égal à la moitié d'un angle 
droit; donc, tous les triangles rectangles ADC, ADB 
etc. seront isoscéles, et l'on aura par suite y — AD = 
DB. — DC = 42. 
En faisant tourner le triangle rectangle isoscéle 
ABC (Fig. 1) autour de son hypothénuse B'C', on 
obtient le quarré AB'EC', parce que chacun des quatre 
angles de ce quadrilatére équilatéral sera droit. Cette 
proposition peut servir, comme la précédente, de point 
' de départ pour établir d'une maniére compléte et ri- 
goureuse la théorie des lignes parallèles. — * 
La démonstration que nous venons de donner de 
Pexistence d'un triangle rectangle isoscele, ayant la 
somme de ses angles égale à deux angles droits, sem- 
blerait peut-étre, au premier abord, donner lieu à 
une objection, ou plutót à un doute que nous allons 
lever. Le doute pourrait porter sur ce que, en joig- 
nant les points B avec € et B avec € (Fig. 1) par les 
lignes BC et B'C', on ne caractérise pas explicitement 
la nature rectiligne de ces derniéres, et qu'elles pour- | 
raient, in abstracto, affecter la forme des courbes CDB, | 
C'D'B'(Fig.2). Rien ne s’op- Fig. 2. 
pose en effet que ces lignes g 0 
CDB, C'D'B' ne soient, par Ve LÀ 
emmer des ares de cercles, a\ 
décrits avec des rayons re- 
spectivement proportionnels 
aux longueurs AC — a et AC’ 
— 24°), ou d'autres courbes a 
qui ne différent entre elles 4 = Pp 
que par la grandeur de leurs 
paramétres supposés d'ailleurs proportionnels aux 
mêmes longueurs AC — a et AC’ = 2a. Dans cette 
hypothése, les égalités 
ee 
a 
æ = ka ou bien arc CDB =k. AC i 
9 
et x —k.2a ou bien arc C DR — k. 24Cf.' (Fig. 2) 
subsisteront aussi bien que celles que nous avons dé- 
duites plus haut 
droite CB — k . A 
et droite CB =k. ue iech 
la seule différence dans les deux cas ne portera que 
sur la valeur numérique du coefficient k. 
Ainsi, il est vrai de dire que, dans la première par- 
tie de notre démonstration, les lignes qui joignent B 
avec € et B avec € ne sont pas définies compléte- 
ment: elles peuvent en effet, in abstracto, affecter la 
forme droite ou courbe, à condition toutefois d'avoir, 
dans le dernier cas, leurs paramétres respectivement 
proportionnels aux longueurs AC et A 
Pour lever le doute que nous venons d'indiquer, 
il suffit de se reporter à la seconde partie de notre 
démonstration. Et, avant tout, observons que les lignes 
AD et AD' ne peuvent pas affecter une forme courbe 
comme BC et BC’, parce que, dans cette hypothése, 
l'identité de position de la ligne AD relativement à 
AB et AC, ou de AD’ par rapport à AB’ et AC’, iden- 
tité exigée par la nature de la question, serait altérée; 
en effet, si la ligne AD était courbe, elle tournerait 
sa concavité vers l'une des deux droites AB ou AC, 
et sa convexité vers l’autre, ce qui est inadmissible, 
vu qu’il n’y a aucune raison pour que la position re- 
9.4 Dana la Fig. 2 on a pris pr rayons les longueurs memes 
et AC — 2a; le point O est le centre de l'arc CDB et 
celui: de Pare € D'B 
