BULLETIN 
DE L’ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES DE ST.-PÉTERSPOURG. 
Auflösung der Aufgabe: Ein Quadrat zu beschrei- 
ben, dessen Ecken auf vier gegebenen Graden 
liegen, von Thomas Clausen. (Lu le 22 janvier 
1864.) 
(Mit 1 Tafel.) 
1) Eine analytische Auflösung dieser Aufgabe fin- 
det sich in dem Werke von Carnot: Géométrie de Po- 
sition p. 374. Indem ich die Aufgabe auf eine etwas 
verschiedene Art zu lösen suchte, fand ich, dass vier 
gegebene Grade im Allgemeinen sechs verschiedene 
Lösungen gestatten: statt dreier, wie Carnot p. 376 
angiebt. Meine Auflösung ist folgende: Siehe Fig. I. 
Es seien die gegebenen Graden AB, A'B; 4’B} 
A"B". Die Durchschnitte: von AB und A/B’ sei D 
von AB und JD sei D"; von AB und A" B" sei D". 
Sei A ein beliebig angenommener Punkt auf der Graden 
4B; AD — «à ; AD" = a; AD" = a". Die Senkrechte 
I$, von einem beliebigen Puncte der Graden AB zwi- 
schen À und D; auf A'B' gefällt, bilde mit AB den 
Winkel $, wenn man den Winkel in der durch den 
Pfeil angedeuteten Richtung wachsend annimmt; ebenso 
de Senkrechte auf der Graden A”B” den Winkel a 
nit AB; und die Senkrechte auf der Graden A" B" 
den Winkel o". 
Das eingeschriebene Quadrat sei PSRQ, AP — z, 
und der Winkel, den die Seite PS mit AP bildet, € (hier 
negativ), so ist der Winkel, den die Diagonale PR mit 
AB bildet: 45? + ¢, und der Winkel, den PQ mit der- 
selben Graden bildet: 90? 4- €. Setzt man PS = PQ 
=y, so ist PR — y y 2. 
Man sieht leicht, dass die Grösse der drei Senk- 
rechten: P8, u. s. w. (die beiden anderen sind in der 
. Figur nicht gezeichnet, um sie nicht zu überladen) 
.. lésp. sind: 
| ZE 
(a — d Cos o^ =y V2 cos (£ +- 45° — 9) oO 
Ca SH 2) cos p” = y cos (t n 90° SEN 9") | 
(à —2) cos o" = ycos 
Und nach einer leichten Reduction: 
Tome VII. 
Es ETT v : 
à — z = y (cosķ + tng o' sin t) | 
a — z = y |cost(1 + tng o") a- sinz(tng o — 1)! $ (2) 
a” — 2 = y(costtng o" — sint) 
Multiplicirt man diese Gleichungen resp. mit (a" — a"), 
(a. — a), (à — a"), und addirt die Producte, so findet 
man: 
o = cost ((a" —a )tngg"+ (a —a") (tng e" —1)) + 
—+ sin Cie — a^) (tng o A 1) + (a" — a) tug el 
Setzt man nun 
(a^ — a) tngo + (à — a) (tng 9" — 1) — ksin K 
(a^ — a”) (tng o' + 1) + (a" — a^) tng o" = k cos K 
o = ksin (5 + K) 
Es sind zwei Fälle möglich: 1) k= o, in welchem 
Falle & unbestimmt bleibt, und also unendlich viele 
Lösungen möglich sind; und 2) £ — 180? — K oder 
— K. Diese beiden geben für y denselben Werth, 
aber den einen negativ, und den andern positiv, von 
denen nur der positive brauchbar ist. 
Substituirt man in zweien der Gleichungen (2) den 
gefundenen Werth von &; so findet man leicht aus 
ihnen die Werthe von y und z.  - 
Da die drei Graden A'B; A"B; A” B" sich auf sechs 
verschiedene Arten verwechseln lassen; so giebt es 
sechs verschiedene Auflósungen, die ich, um die Sa- 
che deutlicher zu machen, in den sechs Figuren I— VI 
gezeichnet habe, worin die vierseitige Figur, auf de- 
ren Seiten die vier Ecken der Quadrate liegen, in 
allen dieselbe ist. 3 
2) Um eine geometrische Auflösung dieser Aufgabe 
zu finden, suchte ich die Gleichung für den Ort des 
Punctes R, wenn die Ecken P, Q, S, wie oben auf 
denselben drei Graden liegen, und AP = verschie- 
dene Werthe annimmt. Es sein die rechtwinkligen 
Coordinaten von R....&,v und AB die Axe der €; 
A Anfangspunct der Coordinaten; so ist 
E — 2 + yV2 cos (t2 45°); v = yV2 sin (+ 45°) 
so wird: 
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