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Bulletin de l'Académie Impériale 
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Sur deux questions d'analyse indéterminée pro- 
posées dans le Journal: , Zeitschrift für Ma- 
thematik und Physik“; par V. Bouniakow- 
Sky *). (Extrait) (Lu le 20 octobre 1864.) 
Le prince Buoncompagni, savant italien, si avan- 
tageusement connu par ses publications concernant 
l’histoire des Mathématiques et de la Physique en 
Italie, a proposé, dans le n? 4 du Journal: Zeitschrift 
für Mathematik und Physik (1864), les deux questions 
suivantes qui se rapportent à l’ Analyse de Diophante: 
Résoudre en nombres entiers les deux équations: 
a+ (mer) (e+ 2r... (z--n — 1. 0 — v... (1) 
a^ e (rer) Q) 
Par analogie des matiéres, nous commencerons par 
rappeler un Mémoire étendu de Euler, contenu dans 
le 1° volume de l'ouvrage publié en 1849 par l'Aca- 
démie des Sciences de St.-Pétersbourg: Euleri com- 
mentationes arithmeticae collectae, Petropoli (page 193). 
Dans cet écrit le grand géométre donne la solution 
générale de l'équation indéterminée 
Gr ärt, . .- (za-n — 1.7 — (ga-nry-.... 
Hp +=, 
sans assujettir les nombres x, y, 2, comme dans le 
problème de Buoncompagni, à la dn de former 
une progression arithmétique. En outre, dans le 2? 
volume de l'Algébre d'Euler, on trouve une solution 
de cette méme équation pour le cas oü les trois in- 
déterminées z, y, z doivent satisfaire à la dite condi- 
tion, la différence étant égale à l'unité. Quant-à la 
résolution des équations (1) et (2) pour un nombre 
quelconque de cubes, personne, autant que je sache, 
ne s'en est occupé. 
Revenons à nos équations (1) et (2); et d'abord, 
on trouve trés facilement que leur premier membre, 
présenté sous forme finie, se réduit au produit 
n EE Ze Ic try —-r)]...() 
A l’aide de cette expression et des solutions auxi- 
liaires que nous allons de suite faire connaître, on 
obtient immédiatement, quelque soit », une infinité 
de systèmes de valeurs pour x, r, et v qui satisfont à 
l'équation (1). 
*) Extrait de l'article russe: O des a60nwmnwa» eonpocazs 
uss Jliofpaumoea anaausa n upos. publié dans les Sanuexu Hunepa- 
moperoü Axadewiu Hayxs (T. VI, 1*' cahier, 1864, page 142). 
Représentons par z,, r, et v, la solution auxiliaire 
dont nous parlons; on aura, quelque soit n, 
— (n — 2), y,-2, 
Ainsi, par exemple, pour » — 6 et n — 7, il vient 
un 9 09a te 
— pP — 393 Up lee 55. PT 
Cela posé, pour tirer d'une solution auxiliaire une 
nouvelle solution de l'équation proposée, on fera va- 
rier deux quelconques des trois quantités z, r et v, 
x et v par exemple. On posera en conséquence 
nb wh Lees mendi 
9 =v, + fz — n = fz, 
2 et f désignant de nouvelles indéterminées; quant-à 
r, sa valeur r, — 2 reste, par hypothèse, constante. 
La substitution de ces expressions dans l'égalité (1), 
aprés y avoir remplacé le premier membre par le pro- 
duit (3), conduira à l'équation 
(f^ — n) ?+ 3n (f — 1) z + 3wf — n° — 2n = 0. 
En faisant 
Inf — n? — In — 0, 
on obtiendra 
2 + 9 
[== nu , 
RDS UN (6) 
2 SA 
Ces valeurs de f et de z serviront à déterminer z 
et v au moyen des formules (5); quant-à r, il conser- 
vera, comme nous venons de le dire, sa valeur pri- 
mitive égale à 2. 
Les valeurs numériques de f et z étant en général 
fractionnaires, il en sera de méme, le plus souvent, 
de celles de x et v. Pour résoudre en nombres entiers 
l'équation (1), il suffira, évidemment, de multiplier le 
nombre r, — 2 ainsi que les valeurs trouvées de x et 
v par le commun dénominateur de ces dernières. En- 
suite, pour ne considérer que des solutions propres de 
l'équation proposée, on cherchera le plus grand com- 
mun diviseur de x et r, et on divisera les trois pis 
bres x, r et v, par le plus grand commun diviseur. 
L'application du vers qui vient. d'étre exposé 
aux cas den — 3, 4s iB Kate aux identités sui- 
vantes: : 
