167 
Bulletin de l'Académie Impériale 
donne 
(f —3) 2 + 3(f —3)2+-3f—7=0, 
d’où l’on tire 
7 32 1 que 
— 951577 au ae, ni Mt on Jan 
ipic TEE s 
N ae nt 
Faisant disparaître le dénominateur 131, l’on obtient 
q= 131, v= — 300, 
et par suite, en vertu des formules (7), 
ær = — 9000000, r= — 874294 
x — — 8125706, v,— 43538 
v — vv, — — 13061400. 
Divisant par 2 les valeurs de z, r et v, et changeant 
leurs signes, on obtient 
x— 4062853, r—437147, 
et en définitive 
4062853? 4- 4500000? 4- 4937147? — 
278534632489443000000 — 6530700. 
L'équation 
pu 96, 
v — 6530700, 
a. + (z + ry. + (x + 2r) + (x + Ir — v^, 
traitée de la méme manière, fournit d'abord la solu- 
Mois rid 
g= lll, r=—62, v= 102, 
qui donne 
111° 49? — 13? — 75° = 102°. 
En partant de celle-ci, et en suivant la marche indi- 
quée, on trouve cette autre solution propre 
z= 66951069, r= 26864354, v= 182668740, 
de laquelle résulte l'identité suivante: 
66951069°-+ 93815423* 4- 12067 977° + 
147544131? — 6095266508749776675624000 = 
182668740°, 
Pour le cas de six cubes on trouvera de la même 
manière 
31°-+- 33° + 35°+- 37°-+ 39° AL — 66°. 
et pour celui de huit cubes 
97? + 355? + 613* + 871°-#1129° 
+ 1387°-+ 1645? + 1903°— 2540°, 
La seconde des deux questions proposées par le 
prince Buoncompagni consiste, comme il a été dit 
plus haut, à déterminer les valeurs entières de n, x 
et r propres à satisfaire à l'équation 
(sr) + (a+ 2) + .+(aHn— 1.r =(x+nr), 
En posant 
r AE, 
on obtient l’équation suivante du troisième degré pa 
rapport à À: | 
14 1+- NV + (127 22 +... 2 (12- n LÄ — 
(1 + nd}, 
de façon que la question à résoudre consiste à trouver 
les valeurs entières et positives de » pour lesquelles 
la valeur correspondante de À est rationnelle. En or- 
donnant cette équation par rapport aux puissances 
de À, ce qui se fera trés simplement au moyen de 
l'expression (3), on aura 
235! t 23 
n? (n See ME n (2n ee di 9n = EST 
Faisant successivement n — 2, 3, 4..., on obtient: 
Pour »—2.... 73-- ON tr Be Laf 
n= 304.188 +: Lë — 2:250 
n—4....9288-- 6X— 61—3—0. 
n=5...2% — 153? —151—4—0 
Baba 915 -- en 34-9712 5 —0- 7 
n—=17....98X +126 4-422 2-6 — 0... 
etc. etc. 
De ces ar équations il n'y a que la.seconde 
18 2- 12)? — 2 — 0, 
c'est-à-dire celle qui correspond au cas de » — 3, qui 
ait une racine rationnelle, nommément À =}. Ainsi, 
pour » — 3, on aura r — 32, ou bien z— 3r. Si l'on 
ne tient compte que des solutions propres, comme dans 
la première question, on trouvera la solution unique 
z = 3, r — 1 qui conduit à l'identité connue 
9? -4- 4347 pt 6% We, 
Ainsi, nous le répétons, jusqu'à la limite n = 7, la 
question dont il s'agit n'admet d'autre solution ra- 
tionnelle que celle qui se rapporte au cas de » = 3. 
