Curventheoretisches. 5 



einer Schaar g ( l\ deren Gruppen sich gegen die adj. C n ~ 3 genau 

 ebenso verhalten wie die 6r 2 ." Unmittelbar folgt dies aus dem 

 Riemann-Roch'schen Satze, nach welchem ja der Excess einer Gruppe 

 bezüglich der adj. G n ~ 3 die Beweglichkeit der Gruppe angibt, und 

 umgekehrt. 



Bi Neuer Beweis des Umkehrtheorems. 



(Cp ist Grundcurve und es gibt oo"> 1 adjungirte C n ~ k ~ l ). 



Voraussetzung: „Cp besitzt oo 1 Gruppen G k , wovon jede auf 

 genau oo-"- 1 adj unguten C n ~ h ~ x Jiegt. Wenn diese ©o"- 1 Curven 

 noch ausser der G k Puncte x gemein haben, so müssen durch diese 

 x alle oo.« C n * _1 gehen." 



Die <=>o l G k können einer g* angehören; wir fragen, was ist 

 nothwendig und hinreichend, damit dies nicht stattfinde? 



Die adj. Ci' K ~ l sei durch t u Puncte 1, 2 . . . ^ der Cp bestimmt, 

 sie nimmt also die k u Gruppen G k auf, zu welchen jene Puncte ge- 

 hören, und die mit [1], (2J, . . . \ß] bezeichnet seien. Ausserdem 

 schneide C 1 i~ k ~ l die Grundcurve in ß Puncten b. 



Wenn nun alle oo" C n ~ k ~ l die b enthalten, so existirt offenbar 

 die g ( k \ da sie von den oo 1 durch p — 1 der obigen Gruppen mög- 

 lichen adj. C'" - * -1 ausgeschnitten wird. Aber auch umgekehrt, wenn 

 die g ( k besteht, so müssen die b allen oo" C n ~ k ~ J gemeinsam sein. 

 Man sieht dies durch folgende Schlüsse ein : Durch die b und t « — 1 

 der angenommenen Gruppen, etwa [1] ; [2] . . . [fi — 1] gehen co 1 (7»-*- 1 

 die supponirte g { \ liefernd. Bedeutet G k eine beliebige der ausge- 

 schnittenen Gruppen, so gehen durch die b, ferner die [1], [2] . . . 

 [}i — 2] und die willkührliche G k wieder oo 1 C n ~ k ~ x , also durch je 

 u — 2 der angenommenen Gruppen oo 2 (7 n -* -1 -. 



Weiter sieht man ebenso, dass durch die b und [1], [2] [,« — 3] 

 ferner zwei beliebige G k noch oo 1 0-*-i bestehen. So fortfahrend 

 findet man, dass durch die b, dann t « — 1 durchaus willkührliche G k 

 noch immer oo 1 C n ~ k ~ 1 gehen müssen, dass mithin die b selbst auf 

 ooit-i+i c j i au f a ii m (jn-k-i Hegen. 



Hieraus geht diese Antwort auf unsere Frage hervor: 



„Damit die Möglichkeit der g { \ } ausgeschlossen sei, ist erforderlich, 

 dass unter den b Puncte vorkommen, welche nur auf oo/ ( — * C n ~ k ~ x 

 liegen, und es ist dies Vorkommen auch hinreichend." 



