4 I. C. Küpper: 



Direkt überzeugt man sich davon in folgender Weise: 



Existirte die g { l\ so könnten ihre Gruppen keine anderen sein 

 als die oo 1 auf C 12 befindlichen G 3 \ denn eine Gruppe der g { l } muss 

 die Eigenschaft besitzen, dass sie auf jeder der oo 4 adj. C s liegt, 

 welche durch einen Gruppenpunct gehen; mithin auch auf jeder 

 Netzcurve sein, welche diesen Gruppenpunct enthält, d. h. sie ist 

 identisch G 3 . Nun miisste die Schaar durch oo 1 adj. C 8 ausschneidbar 

 sein. Nehmen wir jetzt 5 Gruppen G 3 zur Bestimmung einer adj. C 8 

 an, so schneidet diese die C 12 noch in einer 6 te " 6r 3 , und es miisste 

 dann die supponirte Schaar von oo 1 durch die 5 angenommenen G 3 

 gehenden Ct ausgeschnitten werden. Da aber die 5 Gruppen nur 

 einer Ct angehören, so ist die g { \ ] nicht möglich. 



Für das Umkehrtheorem (a. a. 0. V.) hat die construirte C 12 eine 

 besondere Bedeutung: Sie zeigt, dass es zur Geltung dieser Umkehr 

 keineswegs genügt, wenn auf C n p oo 1 Gruppen G h von der Eigenschaft 

 vorkommen, dass eine adj. C»-*-i die Gruppe ganz enthält, wofern 

 sie einen Punct derselben aufnimmt." 



Wir haben eine als „hinreichend bezeichnete Zusatz-Bedingung 

 aufgestellt, welche lautet: Wenn die Mannigfaltigkeit der adj. C n ~ k ~ l 

 (i ist, so schneidet eine dieser oo" C' l ~ k ~ 1 die Grundcurve wenigstens 

 in f* Gruppen G k . Enthält dann dieser Schnitt ausserdem noch ß 

 Puncte &, so ist die Umkehr statthaft, falls diese b sich normal zu 

 den C k ~~ 2 der Ebene verhalten, d. h. wenn durch je ß — 1 der b eine 

 C h ~ 2 besteht, welche den fehlenden b nicht enthält. 



Im vorliegenden Falle ist ^ = 5; der zu betrachtende Schnitt be- 

 steht aber aus 6 G 3 \ die ß Puncte b bilden also eine G 3 und ver- 

 halten sich anormal bezüglich der C k ~ 2 = C 1 , da die b in einer 

 Geraden liegen. Die Umkehr findet nicht statt, indem die g { l } nicht 

 existirt. Mithin sind wir zu dem Schlüsse berechtigt, dass unsere 

 „hinreichende" Bedingung für die absolute Geltung des Umkehr- 

 theorems auch erforderlich ist.. 



Schliesslich fügen wir eine wesentliche Bemerkung betreffend 

 den hyperelliptischen Fall, k = 2, p~p — 1, bei. 



Das Umkehrtheorem wird hier gewöhnlich so ausgedrückt: 

 Besitzt Cpoo 1 Gruppen G 2 derart, dass eine adj. 6' n_3 , welche einen 

 Gruppenpunct enthält, auch den zweiten aufnimmt, so bilden die 

 oo 1 G 2 eine gty 



Bei dieser Fassung ist zu viel vorausgesetzt; man müsste sagen : 



„Gibt es auf Cp eine einzige solche G i: so gehört dieselbe zu 



