4 VI. Michel Petrovitch: 



y est l'un des indices, et où a est un nombre arbitraire. L'équation 



(5) est une équation algébrique en A, avec les coefficients dépendant 

 de a; elle sera appellée: équation en A relative au sommet multiple (y). 

 A chaque sommet multiple de la ligne polygonale 77 correspond une 

 équation en A définie par (5). 



Ceci étant j'ai démontré dans un travail antérieur*) le théorème 

 suivant : 



Toutes les fois que V intégrale générale de (1) ait des infinis mo- 

 biles d'un ordre Je fixe, une au moins des conditions suivantes est 

 remplie : 



î° la ligne polygonale U a un coté à coefficient angulaire égal 

 à — Je; 



2 n la ligne TI a un sommet multiple dont le domaine comprend 

 la valeur — Je et tel, que l'équation en A, relative à ce sommet ait, 

 quel que soit a, une racine dont la partie réelle est égale à — Je. 



L'intégrale ne peut, donc, avoir des pôles simples mobiles que 

 si l'une ou l'autre des conditions suivantes soit remplie: 



I ° la ligne TI a un coté à coefficient angulaire — 1 ; 



2° la ligne 77 a un sommet multiple dont le domaine comprend 

 la valeur — 1 et tel que l'équation en A, relative à ce sommet ait, 

 quel que soit a, une racine égale à — 1. 



En même temps le théorème donne moyen d'énoncer les condi- 

 tions suffisantes pour que tous les pôles mobiles, dans le cas où ils 

 existent effectivement, ne soient que des pôles simples. 



Nous supposerons que les conditions énoncées, nécessaires pour 

 l'existence des pôles mobiles simples soient remplies. L'intégrale peut 

 alors avoir des tels pôles; s'il n'y en a pas, les résidus sont nuls; 

 s'il y en a, ces résidus peuvent se calculer de la manière suivante. 



Soit x =z a un pôle mobile de l'intégrale et posons 



(6) y = ^-- + 1>(x) 



où g est le résidu cherché et ý (x) une fonction qui reste finie pour 

 x = a. En posant 



(60 f(x)=ç + (x — a)1>(x) 



on aura 



*; Thèse de doctorat, Paris 1894. 



