6 VI. Michel Petrovitch: 



lorsqu'on attribue à l'indice i toutes les valeurs entières de 1 à s, 

 autres que celles des indices des termes faisant partie de T. 



On trouve alors facilement, par un raisonnement analogue à celui 

 que j'ai employé antérieurement dans l'étude des zéros et des infinis 

 des intégrales,*) les résultats suivants: 



I. Pour que T soit composé d'un seul terme, il faut et il suffit 

 que la ligne polygonale n n'ait aucun coté à coefficient angulaire 

 — 1 ni aucun sommet multiple, dont le domaine comprend la valeur — 1. 



L'indice du terme unique, qui compose alors T, sera celui du 

 sommet simple, dans le domain duquel est comprise la valeur — 1. 



IL Pour que T se compose de deux ou plusieurs termes, il faut 

 et il suffit que l'une au moins des conditions suivantes soit remplie: 



1° ou bien la ligne TI a un coté à coefficient angulaire — 1 

 et T sera alors la somme de tous les termes de F correspondant aux 

 indices des points situés sur ce coté; 



2° ou bien cette ligne a un sommet multiple, dont le domaine 

 comprend la valeur — 1 ; T sera alors la somme de tous les termes 

 correspondant aux indices de ce sommet. 



Utilisons maintenant ces résultats pour donner au premier membre 

 F de l'équation (2) certaines formes, dont nous aurons besoin dans 

 la suite. D'abord, comme dans le cas où la condition I est remplie, 

 il n'y a pas de pôles simples mobiles, nous le laisserons de coté. 



Supposons alors que la condition (II, 1°) soit remplie. L'en- 

 semble T sera alors la somme de tous les termes correspondant aux 

 indices des points situés sur le coté de coefficient angulaire — 1. Con- 

 venons de représenter par 



2J la sommation étendue aux indices de tous les points (M., N ť ) 



situés sur la droite qui passe par les points d'indices i et j; par 



2J la sommation étendue aux indices de tous les points autres 

 -(»', y) 



que ceux situés sur la droite qui passe par les points (i, j). 



Soient y et â les indices de deux points situés sur le coté de 

 la ligne polygonale à coefficient angulaire — 1 ; on aura alors 



(10) T = (x - a)- {my+Nr) S Siix) 



(11) £î ( (x) =.<p t (x) [A i f(x) m + ® i (x)] 



*) Thèse de doctorat, Paris 1894. 



