Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 7 



et F peut s'écrire 



F - T + S (x - à)- (m+m) SI (x) 

 -(y, a) 

 on bien 



(12) F = (x - a )-< M H-M; )[2; ß {x) + E {x- af y+ ^- m+m Si.(x)] 



-(y, -5) -(y, S) a 



et il est à remarquer que les exposants 



M + N — M. — N. 



y ' y i i 



qui figurent dans le second membre de l'équation sont tous positifs, 

 T étant l'ensemble de termes de plus faible exposant en (x — a). 



Supposons maintenant que c'est la condition (II, 2°) qui est 

 remplie. T sera alors la somme de tous les termes correspondant 

 aux indices du sommet multiple, dans le domaine duquel est comprise 

 la valeur — 1. Convenons de représenter par 



2 la sommation étendue aux indices de tous les points con- 

 (y) 

 fondus au sommet multiple dont y est l'un des indices; par 



2 la sommation étendue à tous les indices i de 1 h s autres 



que ceux des points confondus au sommet y. On aura alors 



et par suite 



on bien 



T= (x — a)- {My+Ny) Z£i.(x) 

 (y) 



F = T + 2 {x — a)- {Uy +%) SI (x) 



-(y) 



(13) F = (x - a)- {Uy+Ny) [Z Si (x) + -S \x- a) Uy+ ^- ui -^Si(x)] 



(y) -(y) 



avec tous les exposants 



My -f Ny — Mi — Ni 



positifs. Il est encore à remarquer que, puisque la somme Z! doit 



(y) 

 être étendue aux indices de tous les points confondus au sommet 

 d'indice y et que tous ces points ont les mêmes coordonnées et, en 

 particulier, la même abscisse, si l'on désigne cette abscisse par î*, 

 on aura d'après la formule (11) 



