Ví. Michel Petrovitch: 



(14) za^x) -f(x) 2A0 t (x).+ £<p t {x)e;(é) 



(y) (y> (y) 



Arrêtons nous maintenant à ces formes que F prendra au voi- 

 sinage de x= a. Quelle que soit celle des ces formes, le résultat de 

 la substitution de y dans F, définie par (6), doit être identiquement 

 nul quel que soit x dans le voisinage de x— a, car y est l'intégrale 

 de F — 0. On aura donc identiquement dans ce voisinage soit 



(15) 27Ä, {x) +.2'(x- af^- Mi - m Sl. (x) = 



(y, Ö) -(y, ô) 



soit 







(16) 



2&l.(x) + 2{x- 



(y) -(y) 



xMv+Ny— Mi— Ni 



£l.(x)-0 



suivant que dans le voisinage de x — a F prend la forme (12) ou 

 (13). Dans le cas, où l'équation (16) ait lieu, la somme 



2Sl.(x) 



(y) 



sera représentée par (14), dans les autres cas par (11). 



Supposons maintenant que x tend vers a. Cette valeur étant le 

 pole simple de y, on aura d'après la formule (6)' 



\imf(x) — q 



lim (x — a)f'(x) ■=. 

 lim (z — a)' 2 f"{x) — 



\\m{x—aff\x) =0 

 pour toute valeur de a. Et comme les ©.(a?) sont des polynômes en 



/(*), (x - a)f (x) , (x- aff (p \x) 



dans lesquels les termes dépendant uniquement de / (x) manquent, 

 ou aura pour x z=: a 



lim ©.(#>= 0'=1, 2, 3 . . . s). 



Par conséquent on aura pour toute valeur de a, sauf pour cer- 

 taines valeurs particulières a', pour lesquelles les fonctions rpix) de- 

 viennent infinies et que l'on connaîtra toujours d'avance 



