Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 9 



Mi 



(17) lim &, (x) = A.<pJia)Q (% = 1, 2, 3 ... s). 

 Et en tenant compte des inégalités 



M +N >M.4-N. 



on aura pour toute valeur a, ne coïncidant avec aucune des valeurs 

 fixes a', les résultats suivants. 



A) Si la condition (II, 1°) est remplie et si l'on désigne 

 par D et d les indices des deux sommets qui limitent le coté à coef- 

 ficient angulaire — 1, on aura 



(18) SAfp.ia)* = 



(y. S) 



Cette équation est une équation algébrique en q à coefficients 

 qui dépendent de a: nous l'appellerons V équation en q relative au 

 coté à coefficient angulaire — 1. Elle a toujours au moins une racine 

 en q finie et différente de zéro, car parmi les M^ figurant dans son 

 premier membre il y en a toujours au moins deux distincts entre 

 eux. Ces racines sont les résidus cherchés. 



On a donc, dans le cas où la condition (II, 1°) est remplie, la 

 régie pratique suivante pour le calcul des résidus de l'intégrale: 



On construit la ligne polygonale TI de l'équation différentielle 

 donnée et Von forme l'équation en q relative au coté de cette ligne 

 ayant — 1 comme coefficient angulaire ; les racines non nulles de cette 

 équation représentent les résidus cherchés. 



On en tire aussi les résultats suivants: les résidus sont fonc- 

 tions algébriques des fonctions qp.(a) correspondant aux indices des 

 points situés sur le coté à coefficient angulaire — 1 ; pour qu'ils 

 soient fonctions algébriques des ces pôles mobiles, il faut et il suffit 

 que les rapports de deux quelconques de ces fonctions tfffx) soient 

 fonctions algébriques de x. 



Pour que les résidus ne varient pas avec les constantes d'inté- 

 gration, il faut et il suffit que ces rapports soient indépendants de x. 



Il en sera ainsi p. ex. toutes les fois que clans l'équation diffé- 

 rentielle x ne figure pas explicitement. Dans ce cas, d'ailleurs, tous 

 les pôles sont nécessairement mobiles, puisqu'il y a alors une con- 

 stante d'intégration additive à x. 



Appliquons la régie précédente à quelques types généraux 

 d'équations 



