Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 13 



et les résidus relatifs aux pôles mobiles seront 



Çi — f ( fl)-f-Y qPoP) 2 — S% (a) [ Q _ % (a) — ] iP i a) 2 -- 8#„ (a) 



2% (a) 2^{a) 



Troisième exemple: équation 



y" p + ï>{x,y)y< q = 



où P est un polynome en y. Si l'on désigne par m et m' le plus 

 grand et le plus petit exposant de y dans P, on s'assure facilement que 



1° la ligne polygonale 77 ne peut avoir de sommets multiples; 



2° elle ne peut avoir plus d'un coté à coefficient angulaire né- 

 gatif; pour que ce coté existe il faut et il suffit que l'une ou l'autre 

 des conditions 



ou bien 



~Y>p>mi-q 



soit remplie et dans ce cas son coefficient angulaire est égal à 



2p — g 



m -(- q — p 



Par suite, pour que ce coefficient soit égal à — 1, il faut et il 

 suffit que l'on ait 



'ôp = m -j- 2q 



Cette condition étant supposée remplie, tous les pôles mobiles 

 sont des pôles simples. Si l'on écrit alors P sous la forme 



P (x, y) — ç> (x)y m -f tp x (x) y 1 ^ -f . . . 



les termes de F correspondant au coté à coefficient angulaire — 1 

 sont 



y"* et <p {*)y m y' q 



Pour le premier terme on a 



M=p, N=2p 



r =p^ Yi—p^ y 2 =y3=---— o, a = 2* 



