Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 15 



pas satisfaite pour a quelconque, il n'y a pas des pôles simples mo- 

 biles, car les pôles simples ne peuvent alors que coïncider soit avec 

 les valeurs fixes a\ soit avec les racines de l'équation (19). 



Par conséquent, les seuls cas où la circonstance que nous avons 

 en vue: V existence des pôles simples mobiles, se présentera, sont ceux 

 dans lesquels 



1° ou bien la ligne polygonale TI de V équation différentielle don- 

 née a un coté à coefficient angulaire — 1 et alors nous avons apris 

 comment on calculera les résidus cherchés; 



2° ou bien cette ligne a un sommet multiple, dont le domaine 

 comprend la valeur ■ — 1 et tel que son équation en A a comme racine 

 la valeur — 1 quel que soit a ; dans ce cas les résidus restent indé- 

 terminés. 



Les résultats précédents, quoique incomplets, peuvent être uti- 

 les dans certaines recherches et particulièrement dans celles où il 

 importe de connaître toutes les valeurs possibles que peuvent avoir 

 les résidus des fonctions définies par une équation différentielle don- 

 née, sans qu'on ait besoin ou moyen de connaître ces fonctions dans 

 leur forme explicite. Même dans le cas où la fonction est donnée ex- 

 plicitement, il est quelquefois plus commode, à cause de la simplicité 

 de la régie précédente, de former l'équation différentielle à laquelle 

 satisfait la fonction proposée et d'y appliquer directement la régie 

 pour le calcul des résidus. 



Je donnerai ici une application des ces résultats, interessante 

 au point de vue de l'étude des intégrales méromorphes des certains 

 types généraux d'équations différentielles. 



Les régies précédentes ne peuvent, evidement, fournir aucune 

 indication sur l'existence des intégrales méromorphes pour une équa- 

 tion différentielle donnée; mais dans le cas où l'intégrale est effecti- 

 vement méromorphe, ces régies permettent p. ex. de mettre en evi- 

 dence une circonstance remarquable, attachée aux intégrales de telle 

 nature. 



On sait que toute fonction méromorphe peut être représentée 

 par le quotient de deux fonctions G(x) et H(#) holomorphes dans 

 tout le plan. La détermination des ces deux fonctions se fait quel- 

 quefois facilement; il en est ainsi p. ex. pour les fonctions méromor- 

 phes simplement ou doublement périodiques. Mais quand il s'agit des 

 fonctions définies implicitement par les équations différentielles, il est 



