16 VI. Michel Petrovitch: 



non seulement impossible — sauf les cas éxtrénient rares — de dé- 

 terminer complètement les fonctions G (x) et H (x), mais il est même 

 impossible de former les équations différentielles ordinaires auxquelles 

 ces fonctions doivent satisfaire. Je montrerai comment, pour des types 

 généraux d'équations, on peut — par les considérations précédentes 



— préciser en quelque sorte ces fonctions G(x) et H (a?) correspon- 

 dantes, en formant les équations différentielles auxquelles elles satis- 

 font. La recherche des intégrales méromorphes de l'équation proposée 

 sera ainsi ramenée à celle des intégrales holomorphes dans tout le 

 plan, satisfaisant à une autre équation. 



Supposons que pour une équation donnée 



F (y, y\ y" ... y (p) ) = 



ne contenant x explicitement on ait reconnu que tous les pôles de 

 l'intégrale, s'ils existent effectivement, sont des pôles simples et que les 

 rapports des résidus, qui leur correspondent, pris deux à deux sont 

 tous réels, positifs et commensurables. Pour qu'il en soit ainsi, il suffit 



— d'après ce qui précède — que la ligne polygonale II de F ait un, 

 et un seul, coté à coefficient angulaire entier négatif et que ce coef- 

 ficient soit égal à — 1 ; de plus que parmi les sommets multiples il 

 n'y en ait aucun tel, que l'équation en A relative à ce sommet ait 

 des racines entières négatives et comprises dans le domaine de ce sommet ; 

 ensuite que l'équation en y relative au coté à coefficient angulaire — 1 

 n'ait qu'une seule racine non nulle, ou, s'il y en a plusieurs, que 

 leurs rapports deux à deux soient tous réels, positifs et commensu- 

 rables. 



Remarquons qu'il est facile de s'assurer si la dernière condition 

 est remplie, sans résoudre l'équation en y, car en la mettant sous la 

 forme 



g m + T^"" 1 + %Q m ~ 2 + • • • +T„ = 



(les coefficients T\ sont des constantes, indépendantes des pôles mo- 

 biles, puisque les coefficients de l'équation différentielle ne dépen- 

 dent pas de x), aucun coefficient T. ne peut être nul et si l'on forme 

 la transformée en 



de cette équation, cette transformée doit avoir toutes ces racines 



