Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 17 



A/1 î A/'l ? * * A/t/i 



réelles, négatives et cornmensurables, car si l'on désigne par 



les rapports, tous positifs et commensurables (par hypothèse) des ra- 

 cines 



Ql, i>^ S>3 • • • Q m 



à la racine o., on aura 



t, 



y. = ~ = — r-^ — := — -r-- = nombre négatif et commensu- 



râble. 



On calculera donc facilement toutes les racines de l'équation en 

 X et par suite celles de l'équation en p; ou bien on constatera que 

 la condition exigée n'est pas remplie. 



Les conditions étant supposées remplies, il existera un nombre 

 T (réel ou imaginaire) tel que 



^ = ^ T, g, — (i 2 T, . . . Q m = ii m T 



les (i. étant des entiers positifs. Et comme l'on a dans le voisinage 

 d'un pôle mobile (tous les pôles sont mobiles, puisqu'il y a une con- 

 stante d'intégration additive à x) 



x — a 



où la fonction tp (x) est holomorphe au voisinage de x ~ a, on aura 



/ ydx — q. log (x — a) -f- ^(x) 



où ip(x) est aussi une fonction holomorphe au voisinage de x = a. 

 Il s'en suit que l'intégrale 



1 r 1 



Y" / ydx — ^ log (x — a) -f ^- !F (a?) 



ïf. mathematicko-přírodovědecká. 1898. 2 



