Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 21 



(26) 



G(x) =e 



~fR{y,v',- • ■ -y' 



(<?) 



après y avoir remplacé y par une intégrale méromorphe quelconque 

 de F — 0, devienne une fonction de x holomorphe dans tout le plan. 

 De (26) on obtiendrait par les différentiations successives les 

 équations 



-^ = -^-R(y,y, y" ...y (q) ) 



GG'" — G' 2 _ \_ 



G 2 ~~ T 



DR . . DR .. . 



3R (q+l) 



G-G" — 3GG'G" + 2G /3 __ 1 _d 

 G 3 ~~ T dx 



DR DR fq+i) 



au moyen desquelles on peut former une équation d'ordre p -}- q 

 à laquelle satisfait la fonction G (x). 



Ces fonctions G (x) généralisent celles signalées par M. Picard *) 

 et relatives à V équation 



(27) 



P(y, y')y" + Q(y, y0 = o 



(ow P et Q sont des polynômes en y et y') lorsque son intégrale est 

 méromorphe. 



M. Picard a montré, notamment, que lorsque l'intégrale y de 

 l'équation 



(28) 



y" -f ay 3 -f % 2 -f cy -f d + &«/«/' = 



(où a, b, . . . , k sont des constantes) est méromorphe, on peut dé- 

 terminer neuf constantes 



A, B, C, m, w, p, q. r, s 



de sorte qu'en posant 



(29) 



Y = kif -f By + Cy' 

 R = wY* -f wY 2 + j»Y + (gY + r)Y' -f sY' 5 



*) Journal de Mathématiques pures et appliquées p. 283 — 287; 1889. 



