Les fonctions par les équations différentielles d'ordre supérieur. 23 



On se donnera, d'abord, à l'avance la ligne polygonale 77 

 n'ayant qu'un seul coté à coefficient angulaire négatif — ce coeffi- 

 cient étant égal à — 1 — et les points (M., N ť ) que cette ligne en- 

 toure. La détermination de termes correspondant à ces points revient 

 alors à la résolution des systèmes d'équations linéaires et homogènes 

 eu nombres entiers et positifs. Pour trouver le terme de l'équation 

 d'ordre p, correspondant au point donné (M., N.), il faut résoudre 

 le système de deux équations 



M. = m n . -f- m n . 4- . . . 4- m . 



i 0» l le * ' l pi 



N. = m u -j- 2m.,. -f ' . . . -j- pm . 



en nombres entiers positifs et pour que le problème soit possible, il 

 faut et il suffit qu'on ait 



pM i — N . >: 



Il peut y avoir plusieurs systèmes de solutions correspondant 

 à un même point iM ; , N.), mais le nombre de ces systèmes est limité 

 et chacun d'eux donne un mode de construction du terme de l'équa- 

 tion, correspondant au point donné. En construisant h termes de 

 l'équation correspondant aux différents systèmes de solutions relatifs 

 à un même point (M., N e .), ce point sera un point multiple d'ordre h 

 pour l'équation ainsi construite. 



Pour faciliter ces calculs, je donne ici le Tableau de ces solu- 

 tions pour les équations du second et du troisième ordre et qu'il 

 faut appliquer à chacun des points (M e ., N.) qu'on s'est donné à l'avance 

 dans le plan NOM (les indices i sont supprimés). 



1 ° pour le second ordre : 



N — M<m 2 ^iN 



m 1 — N — 2m 2 

 m = M — N -|- m 2 



ou encore 



M-N<«» <M-iN 

 m 1 = 2M — N — 2m 



m 2 = N — M -j- m 



