Sur un système rte coordonnées semi-curvilignes 7 



les arcs des cubiques unicursales, on peut dire que: si l'axe curvi- 

 ligne est une cubique unicursale, pour que l'image d'une courbe algé- 

 brique soit elle même algébrique, il faut et il suffit que cette cubique 

 soit: ou bien la caustique-podaire de la parabole du second degré, 

 ou bien la développée de cette parabole. Car ce sont, comme l'on 

 sait, les seules cubiques unicursales à arc algébrique. 



On rait aussi que toute courbe algébrique à arc algébrique est 

 la développée d'une courbe algébrique et inversement: la développée 

 de toute courbe algébrique est rectifiable algébriquement. On peut, 

 donc, donner à la proposition précédente la forme suivante: 



Pour que l'image d'une eourbe algébrique par rapport à un axe 

 curviligne C soit elle-même une courbe algébrique, il faut et il suffit 

 que la courbe C soit la développée ďune courbe algébrique. 



Fig. 3. 



Remarquons que les courbes C, parallèles à l'axe curviligne, 

 ont pour image les droites n z=z const., parallèles à l'axe des s et 

 que les images s = const. correspondent aux normales à l'axe curvi- 

 ligne. 



Supposons maintenant construit l'image d'une courbe donnée C 

 par rapport à un axe curviligne C (fig. 3) et proposons nous le pro- 

 blème suivant: en connaissant les équations 



s — H> (t) 

 n — % (t) 



de l'image, celles de la courbe C 



x=f(&) 



