Sur un système de coordonnées semi-curvilignes. 



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Q — 



y" 



q pourra aussi s'exprimer rationnellement en t. Par suite l'équation 

 intrinsèque de la courbe C est du genre zéro par rapport à s et g 

 et il en est de même pour l'image de la développée C et de sa sy- 

 métrique C" par rapport à la courbe C. 



Envisageons l'aire comprise entre la développée d'une courbe C, 

 la symétrique de cette développée par rapport à la courbe C et les 

 deux rayons de courbure extremes. D'abord, l'aire comprise entre 

 une courbe plane C, sa développée et deux rayons de courbure a pour 

 expression 



P = ±-f f ds 



Fig. 4. 



g étant le rayon de courbure de la courbe, s arc, s et s 1 les arcs 

 correspondant aux deux points extrêmes. Pour obtenir la symétrique 

 de la développée par rapport à C, on porte sur chaque normale, dans 

 le sens de la convexité de la courbe, une longueur égale à la valeur 

 absolue du rayon de courbure à son pied. 



Considérons l'élément de l'aire dQ, compris entre les arcs infi- 

 niment petits SS' et MM' de la courbe donnée et la symétrique de 

 sa développée et les normales extrêmes en S et S'. Par le point S 

 menons une parallèle SN à la normale en S' et des points M et N 

 abaissons les perpendiculaires MR et NN'. On aura 



dq - aire SS'M'M — aire SS'N'N -4- aire SXM. 



