12 VII. Michel Petrovitch: 



Or si les courbes n'ont pas des discontinuités dans les limites 

 considérées, on aura aux infiniment petits du second ordre près 



aire SS'N'N = çds 



aire = SNM — aire SRM = -i- SR . MR = -i- ç . y tg a 



a étant l'angle de deux normales infiniment voisines en S et S'. Or, 

 a est égal à l'angle de contingence r en s et l'on aura 



ds 



Par suite 



aire SNM = — yds 



(27) Q = ~fç ds = 



3P 



On a donc ce théorème, qu'on démontre, d'ailleurs facilement 

 par les considérations géométriques : l'aire comprise entre la développée 

 d'une courbe plane, la symétrique de cette développée par rapport à la 

 courbe elle même et les deux rayons de courbure extrêmes, est divisée 

 par cette courbe en deux parties, dont le rapport est constant et égal 



à—, quelle que soit la courbe et ces extrémités. 

 o 



L'aire totale entre la développée, sa symétrique et les deux 



rayons extrêmes sera donc égale à 



(28) 4P = 2J Qds 



On en tire directement le résultat suivant : Taire comprise entre 

 V arête de rehaussement d'une surface dévéloppable, sa courbe sp mé- 

 trique par rapport à une ligne de courbure et deux génératrices quel- 

 conques, est divisée par la ligne de courbure en deux parties, dont le 



rapport est constant et égal à — , quelle que soit la surface dévélop- 



à 



pable. la ligne de courbure considérée et les deux génératrices extrêmes. 



