Sur un système de coordonnées semi-curvilignes. 15 



Les coordonnées senii-curviligues (s, n) se prêtent aussi bien 

 à l'étude d'autres classes de courbes, généralisant les courbes symé- 

 triques par rapport à une courbe donnée. Envisageons p. ex. les 

 courbes engendrées de la manière suivante. Etant données deux 

 courbes C et C, par chaque point M de la courbe C on même la 

 normale MM' jusqu'au point M' de rencontre avec la courbe C ; sur 

 cette normale on porte, à partir du poiut M d'un coté ou de l'autre, 

 une longueur MM" égale à h . MM', Je étant un nombre constant 

 donné. Le lieu du point M" sera une courbe C" généralisant la courbe 

 symétrique de C par rapport à C et se réduisant à la courbe symé- 

 trique pour Je — + 1. 



On obtiendra Téquation de la courbe C" en formant l'équation 

 de lïmage de C par rapport à C et en y changeant n en Jen. 

 L'équation ainsi obtenue représentera l'image de C" par rapport à C 

 et l'on en reviendra aux coordonnées usuelles comme nous l'avons montré 

 précédemment. 



Si la courbe C' est la dévélloppée de C, on formera l'équation 

 intrinsèque 



(p(.% ç) = 



de la courbe C et l'on y remplacera y par Jen. L'équation ainsi ob- 

 tenue représentera lïmage de C" par rapport à C et il iťy a qu" 

 à révenir aux coordonnées usuelles pour avoir l'équation de C" sous 

 sa forme ordinaire. 



Quand aux aires limitées par ces courbes et les deux normales 

 extrêmes à la courbe C elles possèdent les propriétés suivantes, gé- 

 néralisant celles qui correspondent aux courbes symétriques. 



Envisageons sur un fil inextensible, enroulé autour d'une courbe 

 C et qui s'en déroule, un point M, qui partage la partie déroulée 

 du fil dans chacune des ces positions en deux parties, 'dont le rap- 

 port est Je, et un second point M' pour lequel ce rapport est Je'. Si 

 l'on désigne par 



[M, C] l'aire comprise entre le lieu du point M et la courbe C ; 



[M, L] l'aire comprise entre le lieu du point M et le lieu de 

 l'extrémité L du fil 



[M, M'] l'aire comprise entre le lieu du point M et le lieu du 

 point M', toutes ces aires étant prises entre deux positions extrêmes 

 du fil, et si l'on désigne par q la longueur du fil déroulé (q sera le 

 rayon de courbure du lieu L) et par s l'arc du lieu L, on trouve 

 facilement, d'après la formule (29) 



