18 VIL Michel Petrovitch: 



On peut se servir des coordonnées (s, n) pour l'étude des 

 courbes tracées sur les surfaces dévéloppables. Si l'on développe la 

 surface sur un plan, les génératrices deviennent les droites ; les lignes 

 de courbure deviennent les trajectoires ortogonales des ces droites; 

 l'arête de rebroussement sera la développée commune à ces trajec- 

 toires. Il suffit de connaître la courbe considérée dans le plan, pour 

 la connaître sur la surface. 



Cherchons p. ex. les lignes géodésiques d'une surface dévélop- 

 pable. Soit C la transformée d'une ligne de courbure dans le plan: 

 la transformée d'une ligne géodésique sara une droite D. Supposons 

 qu'on ait trouvé l'équation 



(s, ») = 



0< 



de l'image de la droite D par rapport à la courbe C. Si l'on enroule 

 le plan sur la surface dévéloppable considérée, la courbe C deviendra 

 une ligne de courbure et la droite D une ligne géodésique de la sur- 

 face, dont on aura l'équation sous la forme 



/(s, <r) = 



où s est l'arc de la ligne de courbure C, correspondant au point M 

 de la géodésique et o la distance de ce point à la ligne de courbure 

 suivant la génératrice qui passe par l'extrémité de l'arc s. Il suffit 

 alors d'avoir les formules de passage des coordonnées (s, a) aux co- 

 ordonnées usuelles, pour avoir l'équation de la géodésique cherchée. 

 Pour donner un exemple de telle détermination des lignes géo- 

 désiques, cherchons les géodésiques d'un cône cle révolution. Si Ton 

 développe le cône sur un plan, les lignes de courbure deviennent des 



