Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven. 7 



zu finden, bringt man die Normale der Evolute mit dem Durchmesser 

 des entsprechenden Parabelpunktes P in J zu Schnitte; als dann ist 

 K® = 3 . JK. 



Diese Construction gilt in der soeben ausgesprochenen Form für 

 Kegelschnitte überhaupt, was daraus folgt, dass behufs Erzielung der- 

 selben der Kegelschnitt durch eine Parabel q ersetzt werden kann, 

 die mit ihm den Krümmungmittelpunkt K und den durch P gehenden 

 Durchmesser und in Folge dessen vier benachbarte Punkte gemein- 

 schaftich hat. Auf diese Weise werden wir zu einer bekannten, ein- 

 fachen Construction geführt, zu welcher A, Mannheim auf verschie- 

 denen Wegen gelangt ist. 



II. Zur Construction von Tangenten und Krümmungs- 

 kreisen der Exponentialcurve und der Kettenlinie. 



4. Die Gleichung der Exponentialcurve f in rechtwinkeligen Co- 

 ordinaten ist 



X 



y = be^ 



Es sei P irgend ein Punkt derselben, P P seine Ordinate, (PT) 

 seine Tangente, T deren Schnitt mit x, also P T die Subtangente. 



Da die Subtangente für alle Punkte der Exponentialcurve gleich 

 a, also constant ist, so folgt daraus, dass die Differentialcurve f von 

 / wieder eine Exponentialcurve ist, welche mit / zusammenfällt, so- 

 bald man als Constructionseinheit die Strecke TP = a wählt. 



Nachdem also hier (PT) auch schon Tangente an die Differen- 

 tialcurve. ist, so hat man in Anwendung des a. a. 0. angeführten 

 Satzes (I) bloss durch T die Parallele zu y zu legen und dieselbe 

 mit der Normale von / in P zu schneiden. Ist M der so erhaltene 

 Schnittpunkt, und wird die Normale von x im Punkte N getroffen, 

 so ist PK := MN der gesuchte Krümmungshalbmesser. 



5. Die Kettenlinie f hat die Gleichung in rechtwinkeligen Co- 

 ordinaten 



X X 



Die Gleichungen 





