Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven. 

 Nun ist 



"0^2 



P P 



L o* 2 



und ebenso 



somit 



APoA 2 P 2 ~APoPA 



Weil nun zwei Paare sich entsprechender Seiten dieser Drei- 

 ecke auf einander senkrecht stehen, so ist auch 



A 2 Qj_A a Q. 



Weil auch P Q, PQ in den einander ähnlichen Dreiecken 

 A,QA 2 , P^QPi sich entsprechen, so ist ebenso 



PoQ-LPQ- 



Da alsdann P Q — P Aj ist, so ergibt sich aus dieser Betrach- 

 tung folgende bekannte Tangentenconstruction für die Kettenlinie. 



Um P als Mittelpunkt beschreibe man mit dem Halbmesser a 

 einen Kreis; die Tangente der Kettenlinie ist die eine von P an 

 diesen Kreis gelegte Tangente.*) 



Construiren wir dann auf Grund der Strecke A 1 P — a als Con- 

 structionseinheit zu den Punkten P n P 2 , P beziehungsweise die corres- 

 pondirenden Punkte P\, P' 2 , P' der Differentialcurven von/ n f 2 resp. 

 /und zu diesen Punkten dann die correspondirenden Punkte P/', 

 Po", P" der zweiten Differentialcurven, so entnehmen wir der Figur 



2.P P = yi + yii 2.P F=r^- % , P P"==jř. 



*) Bewegt sich P auf/, so beschreibt Q eine Curre q, die nach der obigen 

 Ausführung auch durch den Scheitel Q eines rechten Winkels beschrieben wird, 

 dessen Schenkel auf/j und / 2 gleiten. Daraus folgt, dass (QPj die Normale, so- 

 mit (P Q) die Tangente an g in Q ist. Dies führt sofort zu folgenden bekannten 

 Eigenschaften der Curve q: Sie ist eine orthogonale Trajectorie einer Reihe von 

 gleichen Kreisen, welche auf x ihre Mittelpunkte haben; sie ist eine Evolvente 

 der Kettenlinie. Da sie durch den tiefsten Punkt der Ketteulinie geht, so ist die 

 Strecke QP gleich der Länge des Bogens für die Kettenlinie vom tiefsten Punkt 

 bis P. Schliesslich ist q, da die Längen ihrer Tangenten vom Berührungspunkte 

 bis zur Achse a- einander gleich sind, eine Traktorie der Geraden x. 



