Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven 17 



Wir denken die Ebene von F t auf irgend eine Rotationscylinder- 

 fläche Z so aufgewickelt, dass die Ordinatenlinien auf die Mantel- 

 geraden von Z zu liegen kommen. Insbesondere kann Z so gewählt 

 werden, dass der Parallelstreifen, welcher durch die Ordinatenlinien 

 der Punkte S, O begrenzt ist, nach der Aufwickelung auf Z diese 

 Fläche vollständig aber gerade nur einmal belegt. Dadurch geht die 

 #-Achse in eine gewöhnliche Schraubenlinie \x\ und F in eine Curve 

 [FJ über. Sämmtliche Geraden, welche die Curve [F], die Achse z 

 von Z schneiden und zu z normal sind, bilden eine Conoidfläche R r 



Verschiebt man [x] in Richtung der Mantellinien von Z um den 

 Radius dieser Cylinderfläche nach [a? 3 ] und denkt sich die Orthogo- 

 nalprojection eines jeden Punktes von [x] auf die Achse z mit seiner 

 auf [a;J liegenden Verschiebung durch eine Gerade verbunden, so 

 bildet die Gesammtheit der so erhaltenen Geraden eine schiefe ge- 

 schlossene Regelschraubenfläche R 2 , deren Erzeugenden mit z einen 

 Winkel von 45° bilden. 



Die Orthogonalprojection der Schnittcurve von R 2 mit R x in 

 eine zu z normale Ebene ist alsdann, wie leicht zu erkennen, die 

 Curve F . 



Ist F yx in rechtwinkeligen Coordinaten gegeben, so sind die 

 Curven [x], [x x ] Kreise und die Fläche R 2 ist ein Rotationskegel, 

 welcher den Mittelpunkt von [x] mit [x x ] verbindet. 



Im zweiten Fall, wenn wir statt eines Poles (0) eine Polcurve o 

 wählen, inbezug auf welche die Curve F^ definirt wird, können wir fol- 

 genderen ass en vorgehen. 



Wir denken uns auf einer Geraden eine veränderliche Strecke VW 

 und bewegen diese Gerade in der Ebene E von o derart, dass sie von 

 irgend einer Anfangslage an beständig zu o normal bleibt, und dass 

 der Punkt V die Evolute v von o beschreibt. Die Bewegung des 

 Punctes W soll als dann so erfolgen, dass er eine Kurve w beschreibt, 

 deren Gleichung in verallgemeinerten, auf o bezogenen Polarcoordi- 

 naten lautet 



/■ ;= a sin (g) -f- &), 



worin a und b constante Grössen bedeuten, weil für eine solche Kurve 

 thatsächlich das Verhältnis des Differentials für den Bogen zu dem der 

 Amplitude constant ist. 



Weiter legen wir durch o, v, iv die zu E normalen Cylinderflächen 

 [0], [V], resp. [W] und wickeln die Ebene von F auf [W] derart auf, 

 dass die Ordinatenlinien auf die Geraden von [W] zu liegen kommen. Da- 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. 1898. 2 



