Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven. 23 



Ist F irgend eine algebraische Curve w-ter Ordnung, sind ferner 

 P lt P 2 , . . . P M ihre Schnittpunkte mit einer Geraden g, nimmt man 

 dann irgend einen Punkt O auf dieser Geraden und bestimmt, 

 schliesslich den harmonischen Mittelpunkt ersten Grades P für die 

 Punktgruppe P x , P 2 . . . P n der Formel 



Jl - 1 ,1, i L 



OP ~~ op x ^ op 2 ^ • • • "*" OP 



gemäss, so weiss man, dass sich P auf einer Geraden o bewegt, wenn 

 sich die Gerade g um den Pol O dreht. 



Wir wollen nun O durch stetige Bewegung auf g ins Unendliche 

 verlegen, wodurch wir schliesslich zu einem Parallelcoordinatensystem 

 geführt werden, für das die Achse y parallel zu g ist, während die 

 rr-Achse beliebig gewählt werden mag. Bezeichnen wir in der Grenze 

 die Ordinaten der Punkte 0, P, P x , . . . P e . beziehungsweise mit «/ , y, 

 y x . . . y t , so handelt es sich um die Gleichung 



_ 2j,y_ 



Vo -y *-* y —Vi 



für lim y — ». Durch eine einfache Entwickelung gelangt man zu 

 der Beziehung 



my — 2y., 



die der Definitionsgleicbung (1') von / entspricht, wenn m. =r 1 ge- 

 setzt wird.*) Somit ist o eine Konchoide von F; da der Krümmungs- 

 radius q von o gleich qo ist, so gelangen wir aus (7') und (8') zu 

 folgenden interessanten Beziehungen der Krümmungsradien einer alge- 

 braischen Curve in den Punkten einer Geraden 



(7") lig sin 3 ft- 0. 



*) Zu den Geraden o hätten wir in unseren speciellen Falle auch sofort 

 aus der Gleichung des algebraischen Kurve gelangen können. Ordnen wir nämlich 

 dieselbe nach fallenden Potenzen von y, so lässt sie sich in der Form 



2,»+ («i* + «*)?"- '+■ •.■ = () 



schreiben; es ist also für jede Abscisse y — ~ Vi — — a i x — a a> so dass y -f- a,x 

 -J- a 2 — tbatsächlich eine Gerade o darstellt. 



