Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven. ß[ 



m. 



LA (r. 4- a cot r.) 2 q. sin ' r. LA ( r. -f- a cot r.) 



u. s. w. 



17. Die gewonnenen Formeln und Coustructionen sind selbst- 

 verständlich ziemlich ausgedehnter Anwendung fähig. Wir wollen 

 hier nur einen sehr speciellen Fall herausgreifen, der bereits von 

 verschiedenen Autoren auf mannigfache Weise behandelt worden ist. 



Es soll nämlich eine Beziehung zwischen der Krümmung einer 

 ebenen Curve f und der ihres perspectiven Bildes / a gesucht werden. 



Nehmen wir an, S sei das Centrum, a die Achse der Perspec- 

 tive, P, P-, seien zwei entsprechende Punkte der erwähnten Curven ; 

 weiter sei A der Schnittpunkt von (PPJ mit a und (SAPP X ) = m die 

 Characteristik der Perspectivität. Setzen wir noch SP — r, SP t — r x 

 SA ■=. r 2 , so ergibt sich aus (SAPP X ) = m zunächst 



— r., 4- r — r 2 4 r x 

 oder nach einfacher Umgestaltung 



r r, r 2 



Dies ist eine Beziehung, auf welche man die Gleichung (4) des 

 vorangehenden Artikels direkt anwenden kann. Die Tangenten in P 

 und Pj an / resp. f x schneiden sich in einem Punkte T auf a. Setzt 

 man PT — t, P,T =: t x , so gibt die erwähnte Gleichung (4), auf 

 unsere Gleichung (1) angewendet, da f 2 mit der Geraden a identisch 

 und q 2 - oo ist, die Relation 



(2) X^BAP^).*, 



welche in dieser Form von Geisenheimer gefunden worden ist.*) 



Nach der Formel (2) lässt sich q äusserst einfach mit Zuhilfe- 

 nahme der elementarsten Operationen construirez Wenn ich hier 

 dennoch auf dieselben näher eingehe, so veranlasst mich dazu der 

 Umstand, dass sich die betreffenden Constructionen in eine einfachere, 



►) Schlömilch's Zeitschrift f. Math. u. Phys. B. 25. S. 2U. 



