Zur infinitesimalen Geometrie einiger Plancurven. 33 



kehrt in $ die Senkrechte zu (PK) und von ihrem Schnitt mit (SA) 

 die Senkrechte zu dieser Geraden bis (PK) geschnitten wird. Der 

 Schnittpunkt ist der gesuchte Krümmungsmittelpunkt K. 



Ich benütze hier die Gelegenheit, um bezüglich dieser oft schon 

 besprochenen Relation (2) darauf aufmerksam zu machen, dass, obschon 

 dieselbe von Geisenheimer herrührt, die Lösung des betreffenden 

 Problems, freilich in einer etwas anderen Form, H. A. Mannheim 

 bereits im Jahre 1859 (Annales di Tortolini) gegeben und aus der 

 Lösung eine metrische Relation entwickelt hat, aus welcher die 

 Formel (2) unmittelbar hervorgeht. Dabei möge auch noch erlaubt 

 sein, die von Mannheim selbst gemachte Bemerkung zu reproduciren, 

 dass sich schon l'Hôpital mit der erwähuten Aufgabe beschäftigt hat. 

 Man vergleiche hierüber Mannheim: Géom. cinématique S. 493 u. f. f. 



Ich verweise insbesondere auf S. 494 Art. 2 und S. 497 Art. 9 

 ebendaselbst, welche in theilweiser Umkehrung thatsächlich bemer- 

 kenswert einfache Constructionen unseres Ausdruckes (2) liefern. 



Die Mannheim'sche Ableitung der besprochenen Formel hat 

 weiters den Vorzug, dass sie sich nicht unmittelbar auf metrische 

 Relationen stützt. Beachtenswert ist die Ableitung derselben in dem 

 Werke von Rohn und Papperitz. .Dort wird das Verhältnis der Con- 

 tingenzwinkel der perspectiven Curven in homologen Punkten mit 

 Hilfe einfacher trigonometrischer Formeln abgeleitet; da auch 

 das Verhältnis der Bogenelemente in gleicher Weise sofort hergestellt 

 werden kann, ohne den Satz von Menelatjs heranziehen zu müssen 

 so gelangt man auf diese Weise zu (2) fast unmittelbar auf Grund 

 der blossen Definition für den Krümmungsradius. 



18. Als weiteres Beispiel der Anwendbarkeit der abgeleiteten 

 Formeln möge das folgende erörtert werden. 



Gegeben sind die Curven / , / a , / 2 ; wird auf dem um einen 

 festen Punkt O sich drehenden Strahle der Punkt P derart bestimmt, 

 dass er mit den Punkten P , P x , P 2 , in denen der Strahl die ge- 

 gebenen Curven schneidet, ein constantes Doppelverhältnis p bildet, so 

 beschreibt P eine Curve f; es ist im Punkte P die Tangente und 

 der Krümmungskreis von f su construiren. 



Die Construction der Tangente ist sehr einfach. Da nämlich die 

 Tangenten eines Kegelschnittes auf zwei festen Tangenten desselben 

 projective Punktreihen erzeugen, so wird die fragliche Tangente als 

 die durch P gehende Tangente eines Kegelschnittes gefunden, der 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Ciasse. 1898. 3 



