Carl Pelz: 



Zu diesen Anwendungen soll der vorliegende Artikel einen 

 neuen Beitrag insofern liefern, als ich mir im Nachfolgenden auf eine 

 Beziehung des Theorems von Quetelet und Dandelin zu den Haupt- 

 sätzen der stereographischen Projection der Kugel aufmerksam zu 

 machen erlaube, die zu einem instructiven Beweise der genannten 

 Hauptsätze führt, und in der Anlage und Entwickelung darzuthun 

 vermag, dass es vom didaktischen Standpunkte nicht unvortheilhaft 

 sein dürfte diese Hauptsätze aus dem obgenannten Theorem zu ent- 

 wickeln. 



Für unseren Zweck hat nur der erste, auf die Brennpunkte des 

 Kegelschnittes Bezug- habende Theil des Quetelet-Dandelinschek Theo- 

 rems ein Interesse. Aus diesem folgt nämlich unmittelbar, dass die 

 Brennpunkte der Schlagschattencurve K a einer Kugel auf einer belie- 

 bigen Ebene 2J erhalten werden, indem wir die Endpunkte g, f des 

 auf 2" senkrecht stehenden Kugeldurchmessers, aus der Lichtquelle s, 

 auf S projiciren. Wenn also (siehe beiliegende Tafel) die Kugel mit 

 dem Mittelpunkte m die Grundrissebene in g berührt, so ist g ein 

 Brennpunkt für die Schlagschattencurve K p welche die Kugel auf 

 der Grundrissebene, für irgend einen leuchtenden Punkt s hervor- 

 bringt. Der zweite Brennpunkt f l ist die Centralprojection des Gegen- 

 punktes / von g, aus dem Centrum s. Da in unserer beiliegenden 

 Zeichnung die Gerade sm parallel zur Aufrissebene angenommen 

 wurde, so ist die Länge der Hauptaxe von K r in der zweiten Pro- 

 jection direct gegeben, also ^ vollständig bestimmt. 



Der aus s der Kugel umgeschriebene Kegel, dessen Basis auf 

 der Grundrissebene der Kegelschnitt K. ist, berührt die Kugel in 

 Punkten eines Kreises K, welcher — da s beliebig gewählt wurde — 

 als beliebiger Kugelkreis angesehen werden kann. Projiciren wir die 

 Kugel aus dem Centrum / auf die Grundrissebene, so erhalten wir 

 bekanntlich eine stereographische Projection derselben. Wir betrachten 

 einen beliebigen Punkt p des Kreises K und projiciren diesen aus 

 den Centern s und / auf die Grundrissebene, wodurch die Punkte p s 

 und p 2 respt. erhalten werden, deren Verbindungsgerade stets durch 

 den Grundrissdurchstosspunkt der Geraden s/, daher durch den Brenn- 

 punkt f x des Kegelschnittes K t geht. 



Durchläuft p den Kugelkreis K, so bewegt sich p x auf K x , 

 während p 2 einen Kegelschnitt K 2 beschreibt. Dieser Kegelschnitt ist 

 jedoch ein Kreis mit dem Mittelpunkte j\. 



Wir construiren, um dies darzuthun, die Tangente T* des Kegel- 



