Die Hauptsätze der stereographischen Projection. g 



Schnittes K x im Punkte p x und zwar mit Hilfe der Brennpunkte gf x 

 in bekannter Weise. Diese Tangente ist die Grundrissspur der Tan- 

 gentialebene T des der Kugel umgeschriebenen Rotationskegels, für 

 die geradlinige Erzeugende sp und T berührt daher auch die Kugel 

 und zwar im Punkte p. Der Kugelradius mp steht also auf der Ebene 

 T senkrecht und da seine Grundrissprojection m'p' mit gp 2 zusammen- 

 fällt, so ist, infolge eines bekannten Satzes, gp 2 auf T Ä normal ge- 

 richtet. 



Wir erhalten daher die von p 2 erzeugte Curve K 2 auch als den 

 geometrischen Ort der Gegenpunkte des Brennpunktes g bezüglich 

 aller Tangenten des Kegelschnittes K x . Das ist aber bekanntlich ein 

 Kreis, der den zweiten Brennpunkt f x zum Mittelpunkt besitzt und 

 dessen Radius der Hauptaxe von K x gleich ist. 



Weiter ist ersichtlich, dass die Strecken p x g und p x p, als Tan- 

 genten der Kugel, aus dem Punkte p x , gleiche Länge haben. Es ist 

 also auch: 



PlP = PlP* 



und infolge dessen p { p 2 die um T 7 ' in die Grundrissebene umgelegte 

 Strecke p x p. 



Schneidet eine andere Kugeltangente des Punktes p die Spur 

 T' 1 in q, so ist das Dreieck 



p x pq mit p,p 2 q 



congruent und folglich der Winkel bei p gleich dem Winkel bei p 2 . 



Hiemit sind die Hauptsätze der stereographischen Projection der 

 Kugel vollinhaltlich bewiesen, denn aus dem bisher Gesagten folgt: 



I. Das stereographische Bild eines jeden Kugelkreises K ist ein 

 Kreis K n , dessen Mittelpunkt in der bekannten (zuerst von Chasles 

 angegebenen) Weise als die Centr alprojection des Scheitels jenes Kegels 

 erhalten wird, ivelcher der Kugel längs K umgeschrieben ist. Und en 

 passant ist hier noch zu bemerken, dass falls die Tangentialebene der 

 Kugel im Gegenpunkt des Projectionscentrums als Bildebene gewählt 

 wird, der Radius des Kreises K 2 der Hauptaxenlänge jenes Kegel- 

 schnittes K x gleich ist, welcher die Basis des oberwähnten Kegels 

 auf der Bildebene bildet. 



IL Zwei auf der Kugel aufgezeichnete Curven schneiden sich 



