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rallelenpaars , so bezeichnen ajbi, aiCi . . . aini, btCj . . . 



bini , . . . cini Schnittpunkte und a2D2, a2C2 . . . agi^, b2C2 



. . . D2n2 . . . C2n2 ihre complementären Schnittpunkte und 



dann muss 



Afatbj, a 2 ci, b 2 C2) = A(a 2 b 2 , aic 2 , biet) 

 Afa^, a2Ci, bi'C2J = A(a 2 b 1( a^, b2Ci) 

 A(l2m2, lin2, mini) = Ä(Iiini, h^i, D32 n 2) etc. sein. 



Die angeführte Anzahl der Schnittpunkte 2n(n — 1) 

 ist das Maximum für n Parallelpaare. Nimmt diese An- 

 zahl ab, so vermindert sich um so mehr auch die An- 

 zahl der gebildeten Dreiecke. 



Die Anzahl der für das Maximum von Schnittpunk- 

 ten entstehenden Dreiecke ist leicht abzuleiten und soll 

 hier nicht besprochen werden. Dagegen bemerken wir, 

 dass der Beweis für den allgemeinen Satz sich auf den- 

 jenigen für drei Parallelenpaare reducirt , weil je die zwei 

 einander gleichen Dreiecke in den drei gleichen Paaren 

 liegen, dass ferner in diesen drei Paaren die Nachwei- 

 sung der Gleichheit je zweier complementärer Dreiecke, 

 wenn er nur allgemein geführt wird , volle Beweiskraft 

 für die übrigen drei Paare hat. 



Beweis. Die Parallelen mögen von .links nach 

 rechts fortschreitend in der Ordnung a^b^c^ .... 

 auf einander folgen. Es sei ai die Abscissenaxe und A, 

 B, C ... die senkrechten Abstände der Parallelen ai und 

 a2, bi und b2, Cj und C2 . . . ; ferner sei <p der Winkel 

 von bi und b2 mit ai und a2, i/> der Winkel von Ci und 

 C2 mit ai und a2 und ß und y die Entfernungen der 

 Schnittpunkte a^i und aiCi vom Anfangspunkt der Coor- 

 dinaten und endlich sollen die Abscissen X aibl , X aih2 , 

 X^bj . . . den darauf senkrechten Ordinaten Y aiPi , ^a^' 

 Y a2bl . . . entsprechen. 



