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Verrichtung, oder auf die höchst einfache Integration von 

 /dx zurück gebracht erhalten , die ich im Vorliegenden 

 mitzutheilen die Ehre habe. 



I. Das von Poisson behandelte bestimmte Integral : 



f 



Je 



log . (1 + a 2 + 2aCos. x) dx , 

 



wo a 2 < 1 ist, sei durch f(a) dargestellt, nämlich man 



setze: 



f(a) = | log • . (1 -+- a 2 + 2aCos. x) dx, 



Jo 



J»5T 

 



so hat man, wenn x durch % — x ersetzt wird, auch: 



log. (1 + a 2 - 2aCos. x) dx; 

 addirt man diese zwei Gleichungen, so ist: 



2f(a) = I log (1 + a* — 2a 2 Cos. 2x) dx; 



Jo 



ersetzt man hier 2x durch x, so ist auch: 



/»2jr 

 4f(a) = I log (1 + a* — 2a 2 Cos. x) dx. 



Jo 



Zerlegt man dieses bestimmte Integral in eine Summe 

 zweier, das eine von x = bis x = it, und das andere 

 von x = % bis x = 2?r; ersetzt man im letztern x durch 

 7t + x, so gelangt man zuletzt auf: 



/»3T 



2 log . 



Jo 



4f(a) = 21 log . (1 + a 4 -+- 2a 2 Cos. x) dx , 



aus der beachtend die Bestimmungsgleichung von f(a) fol- 

 gende Functionalgleichung gezogen wird: 



f(a) = 1 f(a 2 ). 



Aus dieser findet man nach und nach folgende Gleich- 

 heiten: 



