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a24-a^2_|-a^'2=l, etc. bc+bV+b'V/=0, etc. 



Es entsteht daher die Aufgabe , dieses was geometrisch a 

 priori eingesehen wird noch analytisch nachzuweisen. 



Wenn man die drei Gleichungen (1) der Reihe nach 

 mit a, b, c mulliplicirt und addirt, so ergiebt sich unter 

 Berücksichtigung der Relationen (2) und (3) 



x'=ax4-by + cz, etc. 



Durch das gewöhnliche Eliminationsverfahren ergiebt sich 



, b'c'^— b^V , c^a'^-c^^a/ , a^b^^— a'^^ 

 x' = x-\- y4- z, etc. 



A A -^ A 



wo A=ab/c/^+a^b^^c+a^'bc^— ab^'c'— a'bc/'— a^^b^c 



die unter dem Namen der Determinante bekannte Func- 

 tion der neun Cosinus a, b, c, a^ etc. ist, welche die Ei- 

 genschaft hat, durch jede Permutation zweier Buchstaben 

 (oder auch zweier Accente) in ihren entgegengesetzten Werth 

 überzugehen. Man hat also 



hf&'—h^^&=aA, c'a^^— c^/a/ = bA, a^b^^— a''b/=cA,) 

 b^/c-bc^^rrra^A, c^^a— c a'^rzzb'A, a^^b— ab^'^c^Aw (4) 

 bc^— b/c=:a/^A, ca^ — c^a = b/^A, ab' — a/b = c'^A,] 

 Quadrirt man die beiden Seiten jeder in der ersten Hori- 

 zontalreihe enthaltenen Gleichung und addirt, so ergiebt 

 sich mit Rücksicht auf die identische Gleichung 



(bV^— b^^cO^+Cc^a^/— c/^aO'-+(a/b'^— a/^b')2 

 ~(a/24-b'24-c^2)(a//24.b//24.c//2)__(a/a^/+b/b//-|-c/c^0^ 

 vermöge der Relationen (2) und (3) 

 1 = A2 . (5) 

 Also ist entweder A=l oder A=: — !• Nimmt man an, 

 das zweite Coordinatensystem sei so beschaffen, dass, wenn 

 die positiven Axen der x^, y^ mit den positiven Axen der 

 X, y resp. zur Coincidenz gebracht werden, dann auch die 

 positive Axe der z^ mit der positiven Axe der z und nicht 



