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Nun seien a, b, c die Cosinus der drei Winkel, welche 

 die Axe der x^ mit den Axen der x, y, z bildet, und ebenso 

 seien die Richtungen der Axen der y^ z^ in Beziehung auf 

 die Axen des ersten Systems durch die Cosinus a^ b'', d, 

 a'', b'^ d^ bestimmt, so dass man durch Projection der 

 aus den neuen Coordinaten x'', y'', z' zusammengesetzten 

 gebrochenen Linie auf die drei ursprünglichen Coordinaten- 

 axen die Transformationsformeln 



x=:ax'+a'y^-f a^^z^ 1 



y = bx^+b^y/+b//z/ I (1) 



z=:cx/+c^y^+c^^z/ ] 

 erhält. Vermöge des ersten vorhinJangeführten~ Satzes hat 

 man dann die drei Gleichungen 



a24.b2+c2 = l,j 



a^^24.b//2 + c/^=:l ] 



und vermöge des zweiten, da die drei Axen der x', y', Z/ 

 sich rechtwinklig schneiden sollen, 



aV+b/b^^4-cV=0,l 



a^^a+b^^b+c^^c=:0,| (3) 



aa/+bb^ +cc^=0,| 

 also im Ganzen 6 Bedingungsgleichungen zwischen 9 Grössen. 

 Wenn nun keine dieser G Gleichungen eine nothwendige 

 Folge der übrigen ist, so bleiben nur drei unabhängige 

 Grössen , und sechs von den neun Cosinus sind jeweiien 

 durch die drei übrigen bestimmt. 



Da das erste Coordinatensystem ebenso auf das zweite 

 bezogen werden kann, wie dieses auf jenes, so ist klar, dass 

 die angeführten 6 Bedingungsgleichungen noch die 6 folgen- 

 den zur nothwendigen Folge haben müssen : 



Geraden sind, so sind yz' — y'z, zx' — z'x, xy' — x'y die Projectionen des 

 von derselben gebildeten Parallelogramms auf die drei Coordinatenebenen. 



